Réduction des endomorphismes Algèbre 3, L2 math
1 Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme 1
1.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Le polynˆome caract´eristique d'un endomorphisme en dimension
finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Deux coefficients importants du polynˆome caract´eristique . . . 5
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie 11
2.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Espaces propres et caract´erisation des endomorphismes diagonalisables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Calcul de la puissance keme d'une matrice diagonalisable . . . 21
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie 26
3.1 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Caract´erisation des endomorphismes trigonalisables . . . . . . 27
3.3 Application de la trigonalisation au calcul des puissances d'un
certain type de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Endomorphismes nilpotents et matrices nilpotentes . . 30
3.3.2 Formule du binˆome matricielle . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.3 M´ethode de calcul de Ak (k ∈ N) lorsque A ∈Mn(K)
est trigonalisable et poss`ede une unique valeur propre . 32
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Polynˆome annulateur, polynˆome minimal et th´eor`eme de Cayley-
4.1 Application d'un polynome à un endomorphisme ou `a une matrice 36
4.2 Polynˆomes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Existence de polynˆomes annulateurs . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 Lien entre les polynˆomes annulateurs et le spectre d'un
endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Calcul de la puissance keme d'une matrice en utilisant un polyn
ˆome annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Le polynˆome minimal d'un endomorphisme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.1 D´efinition, existence et unicit´e du polynˆome minimal
d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.2 Deux propri´et´es fondamentales du polynˆome minimal
d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Une nouvelle caract´erisation des endomorphismes
diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Espaces caract´eristiques et diagonalisation par blocs triangulaires
63
5.1 Espaces caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.1 Propri´et´e de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.2 Propri´et´e de suppl´ementarit´e . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.3 Propri´et´es sur la dimension et sur l'endomorphisme
restreint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.4 Obtention d'un espace caract´eristique comme limite
d'une chaine croissante et stationnaire de sous-espaces
vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Diagonalisation par blocs triangulaires . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Description de la r´eduction . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Application pour le calcul de la puissance keme d'un
endomorphisme ou d'une matrice . . . . . . . . . . . . 71
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Jordanisation des endomorphismes en dimension finie 76
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Le th´eor`eme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Jordanisation des endomorphismes en pratique . . . . . . . . . 84
6.4 Exemples num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Application de la th´eorie de la r´eduction des endomorphismes
aux probl`emes math´ematiques concrets 93
7.1 Application `a la r´esolution des syst`emes d'´equations diff´erentielles
lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Application aux probl`emes sur les suites r´ecurrentes . . . . . . 96
Bibliographie 99