cours ANALYSE COMPLEXE

Table des matières
1 Le plan complexe 4
2 Suites et Limites ; Séries 5
3 Séries entières 5
4 Topologie ; Fonctions et limites 6
5 Différentiabilité 8
6 Dérivabilité et Équations de Cauchy-Riemann 9
7 Opérateurs d et dbarre 11
8 Dérivabilité des séries entières 12
9 Fonctions analytiques 14
10 Le Théorème de Cauchy-Goursat 15
11 La fonction exponentielle 18
12 Le Théorème de Liouville et une application 18
13 Racine carrée et Logarithme complexe 19
14 La méthode de Goursat 21
15 Séries de Laurent (et séries de Fourier) 22
16 Le Théorème d'analyticité et le Théorème de la fausse singularité 25
17 Classification des singularités isolées ; Pôles, Résidus 26
18 Zéros (I) : Multiplicités 27
19 Petit Précis sur la Connexité 28
20 Zéros (II) : Théorème de l'Identité Analytique 31
21 Formule de la Moyenne et Principe du Maximum 32
22 Ouverts étoilés et primitives 34
23 Triangles et Théorème de Morera 35
24 Limites uniformes de fonctions holomorphes 36
25 Intégrales le long de chemins 37
Université Lille 1
c JF Burnol, 2006–2007
3
26 Formules intégrales de Cauchy 41
27 Le théorème de Cauchy-Gauss 43
28 Indices de lacets 47
29 Le théorème des résidus avec indices 49
30 Le théorème des résidus pour les contours de Jordan 50
31 Le principe de la variation de l'argument 52
32 Propriétés locales : préservation des angles, application ouverte 54
33 Formules de Lagrange pour l'inversion 55
34 Homographies 57
35 Annexe : Sur les cycles homologiquement triviaux 60
36 Annexe : la formule du produit infini pour sin(z) 62


Mots-clés : Fonctions d'une variable complexe, analyse complexe, théorème des résidus.
La théorie des fonctions holomorphes a longtemps été considérée comme particulièrement adap-
tée à la troisième année de l'enseignement mathématique supérieur, puisque, s'appuyant essentielle-
ment sur les outils de base de l'Analyse (limites de suites et de séries, calcul différentiel, topologie)
elle permet aux étudiants de savourer les fruits de leurs efforts passés, et de prendre pied dans
un domaine frôlant la magie par moment, un domaine qui a tellement fasciné des générations de
mathématiciens et d'ingénieurs que pendant des décennies on y a fait référence sous l'appellation
majestueuse de « La Théorie des Fonctions ». La théorie a de plus un support géométrique qui lui
aussi devrait pouvoir aider à la rendre, au premier abord, moins abstraite ; en réalité on constate
que ce support géométrique est la source de certaines difficultés pédagogiques.
De nos jours, il nous faut inscrire cet enseignement dans un contexte plus fragmenté, et dans
un volume horaire plus restreint, et on se sent proche du point où il ne sera plus vraiment possible
d'envisager quelque chose de cohérent ; en tout cas quelque chose qui dépasse la simple application
de recettes de cuisine. Mais, avouons-le, le Professeur moderne est tout de même heureux d'enseigner
ce cours car avec le Théorème des Résidus il tient là la source d'exercices à peu près standardisés, il
a donc LA recette de cuisine qui lui permettra de composer un sujet d'examen lui laissant espérer
un taux de réussite nommable.
Je regrette tout de même que le polycopié, qui rassemble trois chapitres distribués durant le
semestre, trouve sa conclusion si rapidement après l'énoncé des théorèmes des résidus ! dans la
pratique du cours je me suis efforcé de les énoncer aux alentours de la huitième semaine, d'en
décrire une démonstration peu de temps après et d'aller un peu au-delà ensuite.
Mais que peut-on faire en douze semaines de deux heures ? le Professeur fatigué répondra :
« de moins en moins année après année ». . . le lecteur surpris de la fatigue du Professeur évoquera
peut-être que Weierstrass, lui, savait présenter les bases en une seule leçon de six heures ! à cela le
Professeur et ses étudiants piqués au vif rétorqueront, « Il y a tout de même beaucoup de choses ici
en un volume assez restreint d'environ soixante pages, et même des choses que Monsieur Weierstrass
n'enseignait point ! ».
Il faudra ensuite, pour supporter la comparaison avec les étudiants de Weierstrass, aller se
renseigner secrètement sur ce dont il n'est pas question ici. En premier lieu, je pense aux fonctions
Gamma et Béta : là c'est simple, il y a sur mon site jf.burnol.free.fr/ens.html un chapitre du
cours 2005 qui leur est dédié. Il serait bon aussi d'en savoir plus sur les fonctions harmoniques :
là aussi mon cours 2005 contient quelques renseignements. Ensuite il faudrait lire un cours sur les
fonctions elliptiques ; plusieurs livres existent. Plus généralement, le grand classique de Whittaker
et Watson « Modern Analysis » reste une référence essentielle en ce qui concerne les fonctions
« transcendantes ».
Lille, le 19 décembre 2006,
Jean-François Burnol