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Analyse Numérique des Equations Différentielles Ordinaires

Démarré par redKas, Décembre 11, 2018, 11:09:23 PM

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redKas

Analyse Numérique des Equations Différentielles Ordinaires

Table des matières
1 Rappels sur le cours d'équations différentielles 4
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Enoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Sur la régularité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Méthodes numériques à un pas 6
2.1 Quelques exemples de méthodes à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Méthodes d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Méthode de Taylor d'ordre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Etude des méthodes à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Influence de l'ordre de la méthode sur l'erreur globale . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Méthodes de type Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Stabilité des méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Ordre des méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Application aux systèmes d'équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Algorithme (RK4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Quelques exemples d'application 25
4 Schémas numériques multi-pas 32
4.1 Consistance, ordre, stabilité et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Schémas d'Adams-Baschforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 Erreur de consistance et ordre de la méthodes ABr+1 . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Stabilité de la méthode ABr+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Schémas d'Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1 Erreur de consistance et ordre de la méthode AMr+1 . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Stabilité de la méthode AMr+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Méthodes de prédiction-correction 43
5.1 Exemples de méthodes de prédiction-correction en mode PECE . . . . . . . . . 44
5.2 Ordre et consistance des méthodes PECE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Stabilité des méthodes PECE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Mise en oeuvre 47
6.1 La méthode d'Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 La méthode d'Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 La méthode de Runge Kutta 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4 La méthode d'Adams Bashforth d'ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.5 La méthode de prédiction correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.6 La résolution numérique d'un système d'EDO :
Modèle proie/prédateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Exercices

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