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Guide d'onde rectangulaire

Démarré par sabrina, Février 24, 2023, 01:22:49 PM

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sabrina

Guide d'onde rectangulaire
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Guide d'onde rectangulaire
1. Introduction
Un guide d'onde rectangulaire est un tube métallique creux à l'intérieur. Il possède une section conductrice rectangulaire de longueur a sur l'axe x et de hauteur b sur l'axe y .Il est remplit à l'intérieur par un diélectrique parfait - souvent par l'air-. Il existe d'autres types de guides de section circulaire et elliptique. Lorsqu'une onde électromagnétique se propage à l'intérieur du guide rectangulaire, elle est confinée par les quatre parois métalliques qui sont des conducteurs parfaits (figure1). Il est destiné à la propagation des ondes hertziennes. Les guides d'ondes rectangulaires sont utilisés dans le domaine des télécommunications dans le but de minimiser l'atténuation de l'onde électromagnétique. Pour obtenir des informations sur les champs électriques et magnétiques, il faut résoudre l'équation de l'onde issue des quatre équations de Maxwell en utilisant les conditions aux limites imposées par les parois du guide.
Figure 1 : Représentation d'un guide d'onde rectangulaire de longueur a sur l'axe x et de hauteur b sur l'axe y
Deux modes supérieurs peuvent se propager dans le guide :
Mode TE : E et transverse
𝐸𝑧=0 , 𝐻𝑧≠0
Mode TM : H et transverse
𝐸𝑧≠0 et 𝐻𝑧=0
Les champs 𝐸⃗ et 𝐻⃗⃗ guidés dans le guide métallique à section rectangulaire s'écrivent :
𝑥
𝑦
𝑧
𝑎
𝑏
2
𝐸𝑧(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝐸(𝑥,𝑦)𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝛾𝑧) 𝐻𝑧(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝐻(𝑥,𝑦)𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝛾𝑧)
Suivant les équations de Maxwell on a :
𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =−𝑗𝜔𝜇𝐻⃗⃗ , 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ =−𝑗𝜔𝜀0𝐸⃗ , 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ =0 , 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ =0
On a 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ )⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −Δ𝐸 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ =𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑑𝑖𝑣𝐻⃗⃗ )⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −Δ𝐻
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =𝜔2𝜀0μ0𝐸= −Δ𝐸 ⇒ 𝜕2𝐸𝜕𝑥2+ 𝜕2𝐸𝜕𝑦2+𝜕2𝐸𝜕𝑧2=−𝜔2μ0𝜀0𝐸
⇒𝜕2𝐸𝜕𝑥2+ 𝜕2𝐸𝜕𝑦2+𝜕2𝐸𝜕𝑧2+𝜔2μ0𝜀0𝐸=0..............(*)
l'équation * est l'équation d'une onde qui se propage dans le guide
Mode TE ⇒𝐸𝑧=0 et 𝐻𝑧≠0
Mode TM ⇒𝐸𝑧≠0 et 𝐻𝑧=0
En polarisation TM 𝑬𝒛≠𝟎
H et transverse ⇒ H est dans le plan (𝑥,𝑦)⊥𝑜𝑧
𝐻𝑧=0 , 𝐸𝑧≠0
On a l'équation suivante : 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝐸𝑧(𝑥,𝑦)𝑒−𝑗(𝜔𝑡)𝑒−𝛾𝑧 Δ𝐸𝑧+𝜔2𝜀0𝜇0𝐸𝑧(𝑥,𝑦)=0 𝜕𝜕𝑧=−𝛾 𝜕2𝜕𝑧2=+𝛾2 𝜕2𝜕𝑥2𝐸+𝜕2𝜕𝑦2𝐸+(𝛾2+𝜔2𝜀0μ0)𝐸=0 𝜕𝜕𝑡=𝑗𝜔𝜕2𝜕𝑡2= −𝜔2
On sait que∶ 𝛾2+𝜔2𝜀0μ0=𝑘2 𝐸=𝑋.𝑌 1𝑋𝜕2𝑋𝜕𝑥2+1𝑌𝜕2𝑌𝜕𝑦2+𝑘2≠0 𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑘2=𝐴2+𝐵2
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1𝑋𝜕2𝑋𝜕𝑥2+𝐴2=0 ⇒ 𝜕2𝑋𝜕𝑥2+𝐴2𝑋=0 1𝑌𝜕2𝑌𝜕𝑦2+𝐵2=0 ⇒ 𝜕2𝑌𝜕𝑦2+𝐵2𝑌=0
La solution est de la forme : 𝑋=𝑐1cos𝐴𝑥+𝑐2sin𝐴𝑥 𝑌=𝑐3cos𝐵𝑦+𝑐4sin𝐵𝑦
Condition aux limites : pour 𝑥=0, 𝐸=0
Pour 𝑥=𝑎 𝐸=0
{0=𝑐1+00=𝑐3+0 ⇒ {𝑐1=0𝑐3=0 𝑝𝑜𝑢𝑟 { 𝑦=𝑏𝑥=𝑎 ⇒ 𝐸=0 0=𝑐2sin𝐴𝑎 ⇒ 𝐴𝑎=𝑚𝜋 ⇒ 𝐴=𝑚𝜋𝑎 0=𝑐4sin𝐵𝑏 ⇒ 𝐵𝑏=𝑛𝜋 ⇒ 𝐵=𝑛𝜋𝑏
𝐸=𝑋.𝑌=𝑐2𝑐4sin𝐴𝑥sin𝐵𝑦𝑒𝑗((𝜔𝑡)−𝛾𝑧) 𝐸=𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝛾𝑧 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =−𝜇𝜕𝜕𝑡𝐻 { 𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐸𝑦𝜕𝑧=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥𝜕𝐸𝑥𝜕𝑧−𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑧⇒{ −𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐸𝑦=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥𝛾𝐸𝑥−𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=0
Et on a { 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐻𝑦𝜕𝑧=+𝑗𝜔ɛ𝐸𝑥𝜕𝐻𝑥𝜕𝑧−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜔ɛ𝐸𝑦𝜕𝐻𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑧⇒{+𝛾𝐻𝑦=+𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥−𝛾𝐻𝑥=+𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦=𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦=[+𝑗𝜔𝜇(𝑗𝜔ɛ𝛾)−𝛾]𝐸𝑦
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−𝜇𝜀𝜔2−𝛾2𝛾𝐸𝑦=𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦⇒𝐸𝑦=−𝛾𝐸0𝑘2𝑛𝜋𝑏sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦
On a : −𝛾2=+𝑘𝑔2
De la même manière on cherche 𝐸𝑥
On a les équations suivantes: −𝛾𝐸𝑥−𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=−𝑗𝜔𝜇(𝑗𝜔ɛ𝛾)𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=(𝑗2𝜔2𝜇ɛ−𝛾2𝛾)𝐸𝑥=−(𝑘2𝛾)𝐸𝑥 𝐸𝑥=−𝛾𝑘2(+𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦)𝑒−𝛾𝑥𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐸𝑥=(−𝛾𝑘2𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦)𝑒−𝛾𝑥𝑒𝑗𝜔𝑡 𝛾=𝑗𝑘𝑔 { 𝐸𝑥=−𝑗𝑘𝑔𝑘2𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧𝐸𝑦=−𝑗𝑘𝑔𝑘2𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧𝐸𝑧=𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦
𝐻𝑥?𝐻𝑦? 𝐻𝑥=−𝑗𝜔𝜀𝛾𝐸𝑦=−𝑗𝜔𝜀𝑗𝑘𝑔𝐸𝑦 𝐻𝑥=−𝜔𝜀𝑘𝑔(−𝑗𝑘𝑔𝑘2)𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐻𝑥=𝑗𝜔𝜀𝑘2𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐻𝑦=𝑗𝜔𝜀𝛾𝐸𝑥=𝑗𝜔𝜀𝑗𝑘𝑔𝐸𝑥 𝐻𝑦=𝜔𝜀𝑘𝑔(−𝑗𝑘𝑔𝑘2)𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐻𝑦=−𝑗𝜔𝜀𝑘2𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐻𝑧=0
On trouve :
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{ 𝐻𝑥=𝑗𝜔𝜀𝑘2𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧𝐻𝑦=−𝑗𝜔𝜀𝑘2𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧𝐻𝑧=0
La fréquence de coupure : 𝛾2+𝜔2𝜀0𝜇0=𝐴2+𝐵2 𝛾2+𝜔2𝜀0𝜇0=(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2 𝛾=√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2−𝜔2𝜀0𝜇0 𝛾>0 ⇒ 𝛾=𝛼 ⇒ 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2>𝜔2𝜀0𝜇0 𝛾<0 ⇒ (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2<𝜔2𝜀0𝜇0
La fréquence de coupure est calculée fc quand on a l'égalité suivante : (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2= 𝜔𝑐2𝜀0𝜇0 𝑓𝑐=12𝜋𝑐√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2
Mode TE : E et transverse ⇒ E est dans le plan (𝑥,𝑦)⊥𝑜𝑧
𝐸𝑧=0 , 𝐻𝑧≠0 𝜕2𝐻𝑧𝜕𝑥2+ 𝜕2𝐻𝑧𝜕𝑦2+(𝛾2+𝑘𝑔2)⏞ 𝐴2+𝐵2𝐻𝑧(𝑥,𝑦)=0
On suppose que 𝐻𝑧(𝑥,𝑦)=𝑋.𝑌 ⇒ 𝜕2𝑋.𝑌𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑋.𝑌𝜕𝑦2+(𝐴2+𝐵2)𝑋.𝑌=0 𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑋.𝑌
On obtient :
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1𝑋𝜕2𝑋.𝜕𝑥2+ 1𝑌𝜕2𝑌𝜕𝑦2+(𝐴2+𝐵2)=0{ 𝜕2𝑋.𝜕𝑥2+𝐴2𝑋=0𝜕2𝑌𝜕𝑦2+𝐵2𝑌=0 𝑋=𝑐1cos𝐴𝑥+𝑐2sin𝐴𝑥 𝑌=𝑐3cos𝐵𝑦+𝑐4sin𝐵𝑦
Conditions aux limites 𝑥=0 ⇒Ey=0 𝑥=𝑎 ⇒Ey=0
𝑦=0 ⇒E𝑥=0, 𝑦=𝑏 𝐸𝑥=0
On a d'après les équations de Maxwell. 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ =−𝑗𝜔𝜀𝐸⃗
𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐻𝑦𝜕𝑧=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐻𝑦=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥 ( 1)
{ 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐻𝑦𝜕𝑧=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥𝜕𝐻𝑥𝜕𝑧−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦𝜕𝐻𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦=0⇒{ 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐻𝑦=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥...............(1)−𝛾𝐻𝑥−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦...............(2)𝜕𝐻𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦=0.....................(3) 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐻𝑦=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥 (1) −𝛾𝐻𝑥−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑦 (2) 𝜕𝐻𝑦𝜕𝑥=𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦 (3)
𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =−𝜇𝜕𝐻𝑥𝜕𝑡 𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐸𝑦𝜕𝑧=−𝜇𝜕𝐻𝑥𝜕𝑡⇒ 0−(−𝛾𝐸𝑦)=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑥 𝜕𝐸𝑥𝜕𝑧−𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=−𝜇𝜕𝐻𝑦𝜕𝑡⇒ −𝛾𝐸𝑥−0=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑦 𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=−𝜇𝜕𝐻𝑧𝜕𝑡⇒ 𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑧
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+𝛾𝐸𝑦=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑥..................(4) −𝛾𝐸𝑥=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑦......... ......(5) 𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=−𝑗𝜇𝜔 𝐻𝑧... ......(6)
Les équations (1) et (5) donnent : 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐻𝑦=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑥
On a d'après (5) 𝐻𝑦=𝛾𝑗𝜇𝜔𝐸𝑥 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾2𝑗𝜇𝜔𝐸𝑥=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑥⇒ 𝐸(𝑥)(𝑗𝜀𝜔−𝛾2𝑗𝜇𝜔)=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦 𝐸𝑥(−𝜔2𝜀μ−𝛾2𝑗𝜇𝜔)=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
On a 𝛾=𝑗𝑘𝑔⇒ 𝛾2=(𝑗𝑘𝑔)2=−𝑘𝑔2
(𝛾2−𝜔2𝜀𝜇𝑗𝜇𝜔)𝐸𝑥=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦⇒
Les équations (2) et (4) donnent −𝛾𝐻𝑥−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑦 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐻𝑥=−𝛾𝑗𝜇𝜔𝐸𝑦 +𝛾2𝑗𝜇𝜔𝐸𝑦−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑦⇒ 𝐸𝑦(𝑗𝜀𝜔−𝛾2𝑗𝜇𝜔)=−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥 𝐸𝑦(𝛾2𝑗𝜇𝜔−𝑗𝜀𝜔)=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥 ⇒ 𝐸𝑦(𝛾2+𝜀𝜇𝜔2𝑗𝜇𝜔)=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
Les conditions auxlimites
𝐸𝑥=−𝑗𝜇𝜔𝛾2+𝜇𝜀𝜔2𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔𝛾2+𝜇𝜀𝜔2𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
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{𝐸𝑥=0𝑦=0,𝑦=𝑏 ⇒ 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦=0 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦=0 ⇒ 𝑐3cos𝐵𝑥0+𝑐4sin𝐵𝑥0=0 ⇒
𝐵𝑐3sin𝐵𝑦+𝐵𝑐4cos𝐵𝑦=0 ⇒ 𝑐4=0 𝑦=𝑏 ⇒ 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦=0 ⇒ 𝐵𝑐3sin𝐵𝑏=0⇒ 𝑦=𝑐3cos𝑛𝜋𝑏
De la même manière
On a : 𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔𝛾2+𝜀𝜇𝜔2𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦 𝑋=𝑐1cos𝐴𝑥+𝑐2sin𝐴𝑥 𝑑𝑋𝑑𝑥=−𝐴𝑐1sin𝐴𝑥+𝐴𝑐2cos𝐴𝑥 𝑥=0 ⇒ 𝐸𝑦=0, 𝑥=𝑎 ⇒ 𝐸𝑦=0 −𝐴𝑐1. 0+𝐴 𝑐2cos𝐴𝑥=0 ⇒ 𝑐2=0 𝑥=𝑎 ⇒ 𝐸=0 ⇒ 𝐴 𝑐2cos𝐴𝑥=0 ⇒ 𝐴.𝑎=𝑛𝜋
𝐻𝑧=𝑋.𝑌= 𝑐1𝑐2cos𝑚𝜋𝑎cos𝑛𝜋𝑏
𝛾=𝑗𝑘𝑔 ⇒ 𝛾2=− 𝑘𝑔2 ⇒ 𝛾2+ 𝑘02=𝑘2 − 𝑘𝑔2+𝜔2𝜀0𝜇0=𝑘2 ⇒ 𝑘2=𝜔2𝜀0𝜇0−𝑘𝑔2
Fréquence de coupure :
𝐵=𝑛𝜋𝑏
𝐴=𝑛𝜋𝑎
𝐻𝑧=𝐻0cos𝑚𝜋𝑎cos𝑛𝜋𝑏𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑧)
𝑘2=𝜔2𝜀0𝜇0−𝑘𝑔2
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𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑘0=2𝜋�0=2𝜋𝑓𝑐 𝑘𝑔=2𝜋�𝑔
On a 𝐴2+𝐵2=𝛾2+𝑘02=𝑘2 𝛾2=𝑘2−𝑘02=(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2−𝜔2𝜀0𝜇0
Ce qui donne : 𝛾=√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2−𝜔2𝜀0𝜇0
On va discuter la propagation dans le guide suivant 𝛾
Si 𝛾>0 ⇒ 𝛼=𝛾 ⇒ 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑔𝑢𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑒 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2>𝜔2𝜀0𝜇0 𝑐𝑒 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
Si 𝛾<0 ⇒ (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2>𝜔2𝜀0𝜇0𝛾 (𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠) 𝜔2𝜀0𝜇0>(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
Pour 𝜔𝑐2𝜀0𝜇0=(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2donc 𝜔𝑐 est la fréquence de coupure 𝜔𝑐2=1𝜀0𝜇0(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2⇒𝜔𝑐=𝑐√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2 ⇒ 𝑓𝑐=12𝜋𝑐√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2
𝑓<12𝜋𝑐√(𝑛𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2 𝑙′𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑣𝑎𝑛𝑒𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒
Donc en mode 𝑇𝐸 𝑚,𝑛 la propagation ne peut se faire que pour 𝑓>𝑓𝑐
Avant de trouver les modes on doit d'abord calculer 𝐸𝑥,𝐸𝑦,𝐸𝑧
𝑓𝑐=12𝜋𝑐√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2
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𝐸𝑥=𝑗𝜇𝜔𝑘𝑔2−𝜔2𝜀𝜇(−𝐻0𝑛𝜋𝑏cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦)𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑥=𝑗𝜇𝜔𝑗(𝜔2𝜀𝜇−𝑘𝑔2)𝐻0𝑛𝜋𝑏cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔𝛾2+𝜔2𝜀𝜇[−𝐻0𝑚𝜋𝑎sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦]𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔−𝑘𝑔2+𝜔2𝜀𝜇[−𝐻0𝑚𝜋𝑎sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦]𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔𝑘2𝐻0𝑚𝜋𝑎sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑧=0
Le mode 𝑇𝐸 0,0 n'existe pas

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