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Les Lignes de Transmission

Démarré par sabrina, Février 24, 2023, 01:21:54 PM

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sabrina

Les Lignes de Transmission

1
Partie 1
Les Lignes de Transmission
1. Introduction
On peut négliger l'aspect de la propagation des ondes électromagnétiques dans un système électrique, en basse fréquence. Les courants et les tensions sont constants tout au long du conducteur qui le parcourt puisque la longueur d'onde est plus grande que la taille de ce dernier. Par contre ils varient tout au long des différents éléments du circuit en haute fréquence. Les lignes de transmission traitent la variation des courants et des tensions en fonction du temps.
Qu'est ce que une ligne de transmission ?
Une ligne de transmission (feeders) en anglais, est une structure qui permet de transférer de l'énergie d'un point à un autre sur un support physique. Ont retrouvent partout les lignes de transmission, chez les compagnies de téléphones, réseau informatique, circuit imprimé, sonde d'oscilloscope etc........
2. Différents types de lignes
Il existe plusieurs types de lignes de transmissions, nous allons en décrire quelques-unes des plus employées.
La ligne bifilaire: Historiquement, c'est la première ligne utilisée. Elle est formée de 2 conducteurs cylindriques identiques parallèles entre eux, on la rencontre sous forme torsadée dans le réseau téléphonique 'filaire'. Un exemple est donné à la figure 5.1.
a) b)
Métal
Gaine diélectrique
Ligne bifilaire
Ligne bifilaire isolée
Figure 5.1 : a) lignes bifilaires b) lignes bifilaires torsadées
2
La ligne coaxial : est une ligne très utilisée, elle est formé d'un conducteur central et d'une tresse en cuivre séparés par une gaine en plastique. Il permet de transporter des signaux de toutes les fréquences, selon les dimensions. Un exemple est donné à la
figure 5.2.
Les lignes planaires: Elles sont de bonne qualité en termes de propagation pour de faibles puissances. Parmi les lignes planaires on trouve les lignes micro-rubans, les lignes coplanaires et les lignes à fentes. La ligne micro-ruban est la plus utilisé pour les circuits intégrés à haute fréquence contrairement à la ligne à fente est moins utilisée en raison des pertes importantes en HF
3. Modèle circuit d'une ligne de transmission
3.1 Introduction
Pour modéliser une ligne de transmission on va la découper en petit tronçon d'une section de longueur infinitésimale (dx), et chaque tronçon va être modélisé sous la forme d'un circuit électrique, basé sur des composants simples (résistances, inductances et capacités), capable de reproduire fidèlement le comportement de la ligne (figure 5.4). Le longueur (dx) doit être choisie de telle façon que dx << λ (λ est la longueur d'onde)
Figure 5.2 : Câble coaxial
Figure 5.3 : Lignes planaires a) ligne micro-ruban b) ligne à fente c) ligne coplanaire
a)
b)
c)
3
Figure 5.4 : Schéma équivalent d'un tronçon de ligne
Les quatre éléments R, L, C, et G sont appelés ''paramètres primaires'' de la ligne de transmission avec
• R : résistance linéique série en (Ω /m).
• L : inductance linéique série en en (H/m).
• C : capacité linéique parallèle en (F/m).
• G : conductance linéique parallèle en (S/m).
4. Equation des Télégraphistes
L'équation des télégraphistes permet d'obtenir une description de la propagation de l'onde dans une ligne. Nous allons l'obtenir en écrivant la différence des tensions d'entréee et de sortie et la différence des courants d'entrée et de sortie, en utilisant les équations de Kirchoff : loi des mailles et loi des noeuds.
4.1 Modèle simplifié
Cas d'une ligne sans pertes
Pour simplifier l'étude dans un premier temps, on considère un tronçon de ligne élémentaire compris entre x et x+dx sans résistance R ni de conductance G, représenté sur la figure 5.5. Il s'agit d'une ligne sans pertes :
Pertes dans les conducteurs
Pertes dans les diélectriques
4
Figure 5.5 : Schéma équivalent d'un tronçon de ligne sans perte
Pour un élément de longueur dx, les équations de Kirchoff sur la boucle et sur le noeud
donnent :
𝑣̅(x+dx,t)– 𝑣̅(x,t)= –L dx
𝜕̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
(5.1)
𝑖(̅ x+dx,t)– 𝑖(̅ x,t)= –C dx
𝜕 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
(5.2)
Du fait que dx est un segment infinitésimal de la ligne, on peut écrire :
𝑣̅(𝑥+𝑑𝑥,𝑡)− 𝑣̅(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
=
𝜕 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
(5.3)
𝑖̅(𝑥+𝑑𝑥,𝑡)− 𝑖̅(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
=
𝜕̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
(5.4)
On obtient un système d'équations couplées :
𝜕 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
= –L
𝜕̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
(5.5)
𝜕̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
= –C
𝜕 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
(5.6)
En dérivant l'équation (5.5) par rapport à x et en remplaçons le terme
( )
x
i x t

� ,
par son
expression équation (5.6)
( ) ( )
� �


� �


��

��





= −


t
i x t
x
L
x
v x, t ,
2
2
(5.7)
dx
5
( ) ( )
� �


� �












= −


x
i x t
t
L
x
v x, t ,
2
2
=LC
( )
2
2 ,
t
v x t


(5.8)
En combinant ces relations suite à une seconde dérivation et en remplaçant le terme
( )
x
i x t

� ,
par son expression on obtient :
𝜕2 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 =LC
𝜕2 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 (5.9)
De même on obtient :
𝜕2 ̅𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 =LC
𝜕2̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 (5.10)
Les équations (5.9) et (5.10) s'appellent les équations des télégraphistes ou encore les
équations des lignes de transmission, car elles décrivent la propagation des ondes le long des
lignes.
4.1.1. Equations de propagation : le cas du régime harmonique
Généralement, les signaux transmit sont sinusoïdaux, c'est-à-dire qu'il est possible d'écrire les
valeurs instantanées complexes de la tension ̅𝑣(x,t) et du courant 𝑖(̅ x,t) qui sont le produit des
amplitudes complexes 𝑉 ̅
(x)et 𝐼̅(
x) qui ne dépendent que de la variable spatiale x par le facteur
complexe exp (j�t).
Les grandeurs complexes associées à ̅𝑣(x,t) et 𝑖(̅ x,t) s'écrivent :
𝑣̅(x, ω,t)= 𝑉 ̅
(x, ω) 𝑒𝑗ω𝑡 (5.11)
𝑖̅(x, ω,t)= 𝐼̅(
x, ω) 𝑒𝑗ω𝑡 (5.12)
En remplaçant 𝑣̅(x, ω,t) et 𝑖(̅ x, ω,t) par leur grandeur complexe dans les équations (5.5) et
(5.6), on obtient :
𝜕𝑉 ̅
(𝑥,ω)
𝜕𝑥
= −jLω𝐼̅(
x, ω) (5.13)
𝜕𝐼̅(
𝑥,ω)
𝜕𝑥
= −jCω𝑉 ̅
(𝑥, ω) (5.14)
6
En dérivant l'équation (5.13) par rapport à x et en remplaçant 𝜕𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥 par son expression on obtient :
𝜕2𝑉̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 = (jCω)(j𝐿ω) 𝑉̅(𝑥,ω) = − ω2𝐿𝐶 𝑉̅(𝑥,ω) (5.15)
De même on obtient :
𝜕2𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 = (jCω)(j𝐿ω) 𝐼̅(x, ω) = − ω2𝐿𝐶 𝐼̅(x, ω) (5.16)
Posons :
γ =√(j𝐶ω)(j𝐿ω) = 𝑗ω√𝐿𝐶 =𝑗𝑘 (5.17)
γ est un nombre complexe, purement imaginaire que l'on appelle la constante de propagation. Les équations (5.15) et (5.16) s'écrivent donc:
𝜕2𝑉̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 −γ2 𝑉̅(𝑥,ω)=0 (5.18)
𝜕2𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 − γ2 𝐼̅(x, ω) = 0 (5.19)
Ce sont les équations de propagation de la tension et du courant le long de la ligne. Les équations (5.18) et (5.19) admettent des solutions de la forme :
𝑉̅(𝑥)=𝑉+
̅̅̅ 𝑒−
γ
𝑥+
𝑉_̅
𝑒γ
𝑥 =
𝑉+
̅̅̅ 𝑒−𝑗𝑘𝑥 +
𝑉−
̅̅̅ 𝑒𝑗𝑘𝑥 (
5.20)
𝐼̅(𝑥)=𝐼+̅ 𝑒−γ𝑥+𝐼−̅ 𝑒γ𝑥 = 𝐼+̅ 𝑒−𝑗𝑘𝑥+𝐼−̅ 𝑒𝑗𝑘𝑥 (5.21)
où 𝑉+̅̅̅, 𝑉−̅̅̅, 𝐼+𝑖̅̅̅̅ et 𝐼−̅ sont des constantes d'intégrations
Le signal se décompose en deux termes. Le premier terme 𝑉+̅̅̅ 𝑒−𝑗𝑘𝑥correspond à l'onde incidente, le second terme 𝑉−̅̅̅ 𝑒𝑗𝑘𝑥correspond à l'onde réfléchie.
La vitesse de phase est donnée par :
7
LC k
v
1
= =


(5.22)
Remarque :
• Relation de dispersion :
La relation 𝑘2 =ω2𝐿𝐶 est appelée relation de dispersion
• Impédance caractéristique :
L'impédance caractéristique est le rapport de la tension au courant à l'intérieur de la ligne.
Les constantes d'intégrations sont liées deux à deux par:
𝑉+ ̅̅̅̅
𝐼+ ̅̅̅ = −
𝑉− ̅̅̅̅
𝐼− ̅̅̅ = √
𝑗𝐿ω
j𝐶ω
=√
𝐿
𝐶
(5.23)

𝐿
𝐶
: est une quantité réelle exprimée en Ω, homogène à une impédance qu'on note Zc et
qu'on appelle impédance caractéristique de la ligne.
4.2. Modèle réel
En général, les conducteurs et les diélectriques utilisés ne sont pas parfaits. Il faut tenir
compte des pertes dans le métal et des fuites dans le diélectrique. Tenant compte des
phénomènes négligés précédemment, il sera introduit ainsi 4 paramètres R, L, C, et G
(figure 5.6).
Figure 5.6 : Modèle réel d'une ligne de transmission électrique.
En suivant le même raisonnement que pour le modèle simplifié les équations (5.1) et (5.2)
deviennent :
8
𝑣̅(x+dx,t)– 𝑣̅(x,t)= –R dx 𝑖̅(x,t) –L dx 𝜕 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡 (5.24)
𝑖̅(x+dx,t)– 𝑖̅(x,t)= –G dx 𝑣̅(x,t) –C dx 𝜕 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡 (5.25)
du fait que dx est un segment infinitésimal de ligne, on peut écrire :
𝑣̅(𝑥+𝑑𝑥,𝑡)− 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝑑𝑥 =𝜕 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑥 et 𝑖̅(𝑥+𝑑𝑥,𝑡)− 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝑑𝑥 =𝜕 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑥 (5.26)
Ce qui permet d'obtenir les deux équations :
𝜕 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑥= – R 𝑖̅(x,t) –L 𝜕 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡 (5.27)
𝜕 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡= – G 𝑣̅(x,t) –C 𝜕 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡 (5.28)
4.2.1. Equations de propagation : le cas du régime harmonique
𝜕𝑉̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥 =−𝑅 𝐼̅(x, ω) −jLω𝐼̅(x, ω) = −(𝑅+j𝐿ω)𝐼̅(x, ω) (5.29)
𝜕𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥 = −𝐺 𝑉̅(𝑥,ω) −jCω𝑉̅(𝑥,ω)=−(𝐺+j𝐶ω)𝑉̅(𝑥,ω) (5.30)
En éliminant 𝑉̅(𝑥,ω) entre les deux équations et en dérivant l'équation (5.28) par rapport à x on a:
𝜕2𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 = (𝐺+jCω)(𝑅+j𝐿ω) 𝐼̅(𝑥,ω) (5.31)
De même on obtient :
𝜕2𝑉̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 = (𝐺+jCω)(𝑅+j𝐿ω) 𝑉̅(𝑥,ω) (5.32)
Ces deux équations sont appelées équations des Télégraphistes.
L'expression de la constante de propagation γ devient :
γ =√(𝐺+j𝐶ω)(𝑅+j𝐿ω) (5.33)
avec γ nombre complexe de l a forme γ =α +jk
• La partie réelle α est un paramètre d'affaiblissement linéique, souvent exprimée en décibels par mètre ou en Nepers par mètre (1dB =0.1151 Np).
• La partie imaginaire k est un paramètre de phase, et représente le déphasage linéique, exprimée en radians par mètre (1radian =57.30°)
9
• Les constantes d'intégrations sont liées deux à deux par:
𝑉+ ̅̅̅̅
𝐼+ ̅̅̅
= −
𝑉− ̅̅̅̅
𝐼− ̅̅̅
= √
(𝑅+j𝐿ω)
(𝐺+j𝐶ω)
= 𝑍𝑐 ̅̅̅ (5.34)
avec 𝑍𝑐 ̅̅̅ = √
(𝑅+j𝐿ω)
(𝐺+j𝐶ω)
(5.35)
Donc pour une ligne de transmission avec pertes, l'impédance caractéristique est un nombre
complexe, où R et G sont respectivement la résistance et la conductance de pertes par unité de
longueur.

On met ainsi en évidence que la solution générale de l'équation de propagation (des
télégraphistes) est la superposition de deux ondes progressives de sens opposés qui
constituent un système d'ondes stationnaires.
4.3. Coefficient de réflexion
Le coefficient de réflexion Г en un point x quelconque est définit comme le rapport de
l'amplitude de l'onde réfléchie à l'amplitude de l'onde incidente en ce point. Il traduit la
réflexion sur un obstacle ou une discontinuité de la ligne de propagation.
Pour une onde progressive de tension, on définit dans le cas général le coefficient de réflexion
(x) + � en un point x de la ligne par :

Si on considère que la ligne d'impédance caractéristique c Z , se termine en l sur une
impédance l Z . On peut exprimer l Z en utilisant les équations (5.35), (5.36) et (5.33):

où on a introduit l'impédance réduite obtenue en divisant l Z par Zc

4.4. Conditions particulières de charges
4.4.1. Charge adaptée
Si la ligne sera terminée par une impédance lZ = cZ , le coefficient de réflexion s'annule.
L'onde n'est pas réfléchie. C'est une onde qui se propage de la même manière que si la ligne
était infinie.
4.4.2. Court-circuit
Si l'impédance terminale de la ligne est nulle ( l Z =0 ) en remplaçant dans
l'équation (5. 40), 1 − = � .L'onde se réfléchit avec un déphasage de π. La superposition des
deux ondes donne un régime d'onde stationnaire pur.
4.4.3. Circuit ouvert
Si l'impédance terminale de la ligne est infinie ( = � l Z ) en remplaçant dans
l'équation (5. 40), 1 = � .L'onde se réfléchit sans déphasage. La superposition des deux
ondes donne aussi un régime d'onde stationnaire pur.
11
4.5. Rapport d'onde stationnaire
Dans une ligne de transmission avec pertes, les deux ondes V+ et V-, se propagent dans des
directions opposées. Elles s'interfèrent et produisent un phénomène qui se manifeste sous la
forme d'ondes stationnaires. A un certain endroit de la ligne, les deux ondes produisent des
interférences constructives, la tension résultante atteint son maximum: Vmax = V+ + V- .
Réciproquement le minimum de la tension résultante est atteint lorsque les deux ondes
produisent des interférences destructives : Vmin = V+ - V-.
On définit le rapport d'onde stationnaire (ROS) comme étant le rapport entre le voltage
maximum et celui minimum relevés sur la ligne au niveau d'un ventre de tension. Le rapport
d'onde stationnaire nommé S est donné par :
+ −
+ −

+
= =
V V
V V
V
V
S
min
max
(5. 43)
On peut exprimer S à partir du coefficient de réflexion
(5. 44)
Année Universitaire 2012-2013
S prend des valeurs comprises entre 1 et ∞
▪ Si S=1, � =0, correspond à des ondes progressives.
▪ Si S=∞, � =1, correspond à des ondes stationnaires pures.
Références
✓ Philippe Ferrari, « phenomenes de propagation en radiofréquences Electronique rapide, »
Cours, Dt Génie Electrique et Informatique Industrielle 2, Physique : phénomènes de
propagation en radiofréquences Grenoble
✓ Paul François COMBES, Micro-ondes 1. Lignes, guides et cavités, Cours et exercices.
Ecoles d'ingénieurs, Edition Dunod, 1996.
✓ Dominic Grenier, électromagnétisme et transmission des ondes, Cours, Dt Génie
Electrique et de Génie Informatique Année Universitaire 2012 ,Quebec
Cours sur les lignes de transmission -converti.pdf

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