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Cours sur les équations différentielles

Démarré par redKas, Décembre 11, 2018, 11:23:19 PM

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redKas

Cours sur les équations différentielles



0 Introduction g´en´erale 3
1 G´en´eralit´es 7
1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Probl`eme de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Champ des tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Solutions maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Solutions globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 R´egularit´e des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Th´eor`eme d'existence de solutions 13
2.1 Th´eor`eme du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Equivalence du probl`eme de Cauchy avec la r´esolution d'une
´equation int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Cylindres de s´ecurit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Th´eor´eme d'existence et d'unicit´e de Cauchy-Lipschitz . . . . 16
2.5 Unicit´e globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Equations diff´erentielles d'ordre sup´erieur `a un . . . . . . . . . 21
3 M´ethodes de r´esolution des ´equations diff´erentielles 23
3.1 Equations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Equations `a variables s´epar´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Equations lin´eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Equations se ramenant `a des ´equations Lin´eaires . . . . . . . . 36
3.5 Diff´erentielle totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Equation de de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 Equation de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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