Support de cours Logique Mathématique
1 Le langage du calcul propositionnel
2 Théorie de la démonstration pour le calcul propositionnel
3 Le langage du calcul des prédicats du premier ordre
4 Le calcul des séquents

Introduction
La logique mathématique est née à la fin du 19ieme siècle au sens philosophique du
terme ; elle est l'une des pistes explorées par les mathématiciens de cette époque afin de résoudre la crise des fondements provoquée par la complexification des mathématiques et l'apparition des paradoxes. Ses débuts sont marqués par la rencontre entre deux idées
nouvelles :
– la volonté chez Frege, Russell, Peano et Hilbert de donner une fondation axiomatique
aux mathématiques ;
– la découverte par George Boole de l'existence de structures algébriques permettant
de définir un «calcul de vérité».
La logique mathématique se fonde sur les premières tentatives de traitement formel
des mathématiques, dues à Leibniz et Lambert (fin 16ieme siècle - début 17ieme siècle).
Leibniz a en particulier introduit une grande partie de la notation mathématique moderne
(usage des quantificateurs, symbole d'intégration, etc.). Toutefois on ne peut parler
de logique mathématique qu'à partir du milieu du 19ieme siècle, avec les travaux de
George Boole (et dans une moindre mesure ceux d'Auguste De Morgan) qui introduit
un calcul de vérité où les combinaisons logiques comme la conjonction, la disjonction et
l'implication, sont des opérations analogues à l'addition ou la multiplication des entiers,
mais portant sur les valeurs de vérité faux et vrai (ou 0 et 1) ; ces opérations booléennes
se définissent au moyen de tables de vérité.
Le calcul de Boole véhiculait l'idée apparemment paradoxale, mais qui devait s'avérer
spectaculaires fructueuse, que le langage logique pouvait se définir mathématiquement
et devenir un objet d'étude pour les mathématiciens. Toutefois il ne permettait pas
encore de résoudre les problèmes de fondements. Dès lors, nombre de mathématiciens
ont cherché à l'étendre au cadre général du raisonnement mathématique et on a vu apparaître les systèmes logiques formalisés ; l'un des premiers est dû à Frege au tournantdu 20ieme siècle.En 1900 au cours d'une très célèbre conférence au congrès international des mathématiciensà Paris, David Hilbert a proposé une liste des 23 problèmes [5] non résolus lesplus importants des mathématiques d'alors. Le deuxième était celui de la cohérence del'arithmétique, c'est-à-dire de démontrer par des moyens finitistes la non-contradictiondes axiomes de l'arithmétique.