Auteur Sujet: Méthodes des Eléments Finis (Lu 696 fois)

redKas · « **le:** décembre 11, 2018, 11:05:14 pm »

Méthodes des Eléments Finis

Introduction 3
1 Problèmes variationnels abstraits 5
1.1 Problème variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Méthode des éléments finis en dimension 1 11
2.1 Éléments finis linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Maillage et fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Opérateur d’interpolation et erreur d’interpolation . . . 14
2.1.3 Convergence et estimation d’erreur . . . . . . . . . . 18
2.1.4 Conditionnement de la matrice de rigidité . . . . . . . 18
2.1.5 Application à l’approximation du problème de Poisson 21
2.2 Éléments finis quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Maillage et fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Opérateur d’interpolation et erreur d’interpolation . . . 28
2.2.3 Convergence et estimation d’erreur . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Application à l’approximation du problème de Poisson 31
3 Méthode des éléments finis en dimension 2 35
3.1 Éléments finis linéaires dans le cas bidimensionnel . . . . . . 35
3.1.1 Triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Éléments finis linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3 Fonctions de base globales . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.4 Fonctions de base sur un triangle quelconque . . . . . 39
3.1.5 Élément de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.6 Opérateurs d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.7 Convergence et estimation d’erreur . . . . . . . . . . 51
3.2 Application à l’approximation du problème de Poisson . . . . 52
i
TABLE DES MATIÈRES 1
3.2.1 Problème continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Problème discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.4 Assemblage de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5 Calcul effectif de la matrice élémentaire . . . . . . . . 58

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