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Polycopié de cours : Introduction à la Physique Statistique

Démarré par redKas, Décembre 12, 2018, 03:27:20 PM

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redKas

Polycopié de cours :  Introduction à la Physique Statistique

1 Introduction aux méthodes statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Rappels de thermodynamique 9
1.1.1 Définitions et notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Principes de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Fonctions d'état en thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Introduction aux méthodes statistiques 15
1.2.1 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Notion de probabilité et statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Problèmes divers 18
1.3.1 Intégrales gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Volume d'une sphère à N dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4 Particule libre dans une boite cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Exercices et problèmes 21
2 Ensemble Micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Espace des phases 23
2.1.1 Définition de l'espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Espace des phases de l'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Volume et aire de l'espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Nombre d'états microscopiques 25
2.2.1 États microscopiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 États microscopiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Postulats de la physique statistique 29
2.3.1 Postulat 1 : Équiprobabilité des états microscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Postulat 2 : Principe ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Définition statistique de l'entropie 30
2.4.1 Formule de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Calcul de l'entropie statistique d'un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 Paradoxe de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.4 Décompte pseudo quantique des états microscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Densité de probabilité micro-canonique 36
2.5.1 Définition de la densité de probabilité micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.2 Valeur moyenne dans l'ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.3 Entropie comme moyenne dans l'ensemble micro-canonique . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Systèmes d'oscillateurs harmoniques classiques et quantiques 36
2.7 Exercices et problèmes 38
3 Ensemble Canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Contact thermique avec un thermostat 43
3.2 Fonction de partition canonique 45
3.2.1 Définition de la Fonction de partition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Grandeurs thermodynamique et fonction de partition canonique . . . . . . . . . 48
3.2.3 Facteur de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.4 Système de particule sans interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Calcul de la valeur moyenne des observables physiques 50
3.3.1 Moyenne d'une fonction sur l'ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Densité de particules dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Gaz parfaits dans l'ensemble canonique 51
3.4.1 Gaz parfait classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Gaz parfait quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Systèmes composés d'oscillateurs harmoniques 54
3.5.1 Système d'oscillateurs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.2 Système d'oscillateurs quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Paramagnétisme 60
3.7 Système à plusieurs niveaux 61
3.8 Statistique de Maxwell-Boltzmann et Fluctuations 63
3.8.1 Statistique de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8.2 Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8.3 Théorème de l'équipartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9 Exercices et problèmes 66
4 Ensemble Grand-Canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Contact thermique avec un thermostat 71
4.2 Fonction de partition canonique 73
4.2.1 Définition de la Fonction de partition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2 Probabilité grand-canonique d'un système d'énergie discrète . . . . . . . . . . . . 74
4.2.3 Probabilité grand-canonique d'un système d'énergie continue . . . . . . . . . . . 74
4.2.4 Valeurs moyennes dans l'ensemble grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.5 Relation entre le potentiel grand-canonique et Z(gc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.6 Système de particules sans interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Fluctuations dans l'ensemble grand-canonique 76
4.4 Gaz parfait dans l'ensemble grand-canonique 78
4.4.1 Gaz parfait classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.2 Gaz parfait quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Piège à particules 79
4.6 Statistiques quantiques 81
4.6.1 Statistique de Fermi Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6.2 Statistique de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Exercices et problèmes 83
5 Applications : Gaz parfaits de Bose et de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1 Ensemble grand-canonique et statistiques quantiques 87
5.2 Gaz parfait de Bose 90
5.3 Rayonnement du corps noir 93
5.4 Gaz parfait de Fermi 96
Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A Gaz parfait ultra-relativiste dans l'ensemble micro-canonique 97
B Gaz parfaits dans l'ensemble canonique 99
B.1 Gaz parfait relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B.2 Gaz parfait dans un champ gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B.3 Gaz parfait en centrifugeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
C Modèle de Debye-Einstein pour les phonons 104

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Patrick DALÉ


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