TP N°2: Analyse statistique d'une séquence vidéo
Segmentation « ROI/ Background »

BUT:
Au cours de ce TP, l'étudiant devra apprendre à:
- Charger une séquence vidéo dans un objet multimédia Matlab à l'aide de la fonction VideoReader( ) et extraire toutes les informations le concernant (nombre de frames, format vidéo de capture, fréquence de capture, taille du frame, ...);
- Charger un frame parmi toute la séquence à l'aide de la fonction read( );
- Segmentation d'une scène en séparant l'objet d'intérêt (ROI) du fond de la scène (Background) en vue d'une analyse ultérieure telle que la reconnaissance de formes (RDF).
MANIPULATION:
Après une première séance de TP durant laquelle l'étudiant a su maîtriser la capture d'images et de vidéos à l'aide d'un capteur d'images (une Webcam par exemple), il vous a été envoyé par mail un ensemble de deux (02) séquences vidéos capturées par l'enseignant chargé du TP dont les noms de fichiers sont : seq_01.avi et seq_02.avi
PARTIE A : ANALYSE STATISTIQUE DE LA SÉQUENCE VIDÉO « seq_01.avi »
1. Chargez la séquence vidéo « seq_01.avi » dans un objet multimédia que l'on appellera « FILM1 » à l'aide de la fonction VideoReader ( ) ;
2. Dans la fenêtre workspace, cliquez deux fois sur l'objet FILM1 puis recopier sur votre cahier de TP toutes les informations relatives à cet objet multimédia ;
3. A l'aide de la commande read( ), charger le 120ème frame de l'objet FILM1 puis l'afficher avec l'outil imtool( ) ; Commentez ;
4. Pour étudier la stabilité chromatique du signal vidéo relatif à l'objet FILM1, on vous demande de :
a. Choisir un pixel de coordonnées (X, Y) ;
b. Charger dans 3 vecteurs différents V_R, V_V, et V_B toutes les valeurs des 3 canaux RVB prises par ce pixel durant toute la séquence vidéo « FILM » ;
c. A l'aide de la fonction plot, tracez les valeurs des 3 vecteurs précédents ;
Quel est la durée du régime transitoire ? Commentez l'allure du régime permanent ;
d. Tracez les 3 fonctions de distribution pour les 3 vecteurs précédents sans tenir compte du régime transitoire; Commentez ;
e. Calculez la moyenne ainsi que l'écart-type de chaque distribution ;
PARTIE B : SEGMENTATION « BACKGROUND » / ROI (REGION OF INTEREST) »
1. Chargez la séquence vidéo « seq_02.avi » dans un objet multimédia que l'on appellera « FILM2 » à l'aide de la fonction VideoReader ( );
N.B. : Dans cette deuxième séquence, l'objet d'intérêt, matérialisé par la pomme, a été filmé sur le fond (Backgound) de la séquence « seq_01.avi », étudiée en partie A.
2. A l'aide de la commande read( ), charger le 50ème frame de l'objet FILM2 puis l'afficher avec l'outil imtool( ); Commentez ;
3. En tenant compte des caractéristiques statistiques estimées en (partie A-4), faite la segmentation Background/ROI pour extraire l'objet « Pomme » seul. Commentez le résultat obtenu.

BUT:
Au cours de ce TP, l'étudiant devra apprendre à:
- Utiliser la fonction de binarisation des images : im2bw( );
- Utiliser les opérateurs morphologiques binaires : strel( ), imclose( ), imopen( );
- Segmentation en contours d'images binaires : bwperim( );
- Labellisation et comptage des objets connectés d'une image : bwlabel( );
- Conversion d'une matrice d'étiquettes (label) en une image RVB, technique utilisée en segmentation d'image en régions: label2rgb( );
- Mesure des propriétés de régions d'une image binaire : regionprops( );
MANIPULATION:
A. SÉPARATION « OBJETS / ARRIERE PLAN »
1) Charger l'image en niveaux de gris : 'coins.png' à partir du répertoire <imdemos>.
2) Afficher l'image ainsi que son histogramme sur le même graphique.
3) Choisir un seuil convenable puis transformer l'image précédente en binaire. Veiller à ce que la forme des objets extraits de la scène ne soit pas altérée.
4) Malgré un choix judicieux du seuil (question 3), l'image binaire obtenue contient toujours des trous ou de fausses alarmes (problèmes des zones d'ombres ou zones brillantes).
En utilisant les opérateurs morphologiques binaires (ouverture et fermeture), reconstruire au mieux les objets extraits et supprimer les régions inutiles.
B. EXTRACTIONS DE CARACTÉRISTIQUES « IMAGE »
1) A partir de l'image binaire obtenue précédemment:
a. Calculer puis afficher une image segmentée en contours.
b. Faire une labellisation, un comptage des objets connectés de l'image binaire puis une segmentation en régions de l'image (objets séparés et colorés différemment).
2) Calculer puis afficher pour chaque objet de la scène :
a. Le périmètre (en pixels)
b. La surface en (pixels2)
c. Le centre de gravité Cg(x,y) dans le repère image (en pixels).
C. EXTRACTIONS DE CARACTÉRISTIQUES « OBJET »
Sachant que l'image d'origine « coins.png » a été acquise à l'aide d'un système de vision artificielle ayant les caractéristiques suivantes :
o CCD de forme 4/3, de diagonale 16mm et de résolution « 246 x 300 » pixels;
o Focale 9.6 mm;
o Distance caméra / plan de travail : 35 cm.
Trouvez, pour les 10 pièces de monnaies filmées, la valeur du rayon Ri (en mm), ainsi que la surface Si (en mm2).


TP2 et  TP3 .pdf

ACQUISITION D'IMAGES ET DE VIDEOS SUR MATLAB
De nos jours, la plupart des caméras sont disponibles avec une interface USB. Une fois que vous installez le pilote du capteur d'images, l'ordinateur détecte le périphérique chaque fois que vous le connectez. Alternativement, si vous avez un caméscope ou une caméra CCD vidéo numérique connecté à une carte d'acquisition et interfacé avec un ordinateur, Windows OS détecte automatiquement le périphérique.
Pour exécuter les instructions ci-dessous, vous aurez besoin d'une webcam USB fonctionnelle, connectée à votre PC.
1. Collecte d'informations sur l'environnement d'acquisition:
Dans MATLAB, vous pouvez vérifier si le support est disponible pour votre caméra. MATLAB a des adaptateurs intégrés pour accéder à ces dispositifs. Un adaptateur est un logiciel que MATLAB utilise pour communiquer avec un capteur d'images.
Toutes ces informations sont obtenues en tapant la commande suivante

=====================
>> imaqhwinfo
ans =
InstalledAdaptors: {'gentl' 'gige' 'matrox' 'winvideo'}
MATLABVersion: '8.1 (R2013a)'
ToolboxName: 'Image Acquisition Toolbox'
ToolboxVersion: '4.5 (R2013a)'
======================================

Pour obtenir plus d'informations sur le capteur, taper:

====================================
>> dev_info = imaqhwinfo('winvideo',1)
dev_info =
DefaultFormat: 'YUY2_160x120'
DeviceFileSupported: 0
DeviceName: 'Sirius USB2.0 Camera'
DeviceID: 1
VideoInputConstructor: 'videoinput('winvideo', 1)'
VideoDeviceConstructor: 'imaq.VideoDevice('winvideo', 1)'
SupportedFormats: {1x5 cell}
=====================================


2. Prévisualisation de la video:
Vous pouvez visionner la vidéo capturée en définissant un objet et l'associer au capteur. Vous verrez les détails des paramètres d'acquisition, comme le montre la commande suivante:

====================================
>> vid=videoinput('winvideo',1, 'YUY2_160x120')
Summary of Video Input Object Using 'Sirius USB2.0 Camera'.
Acquisition Source(s): input1 is available.
Acquisition Parameters: 'input1' is the current selected source.
10 frames per trigger using the selected source.
'YUY2_160x120' video data to be logged upon START.
Grabbing first of every 1 frame(s).
Log data to 'memory' on trigger.
Trigger Parameters: 1 'immediate' trigger(s) on START.
Status: Waiting for START.
0 frames acquired since starting.
0 frames available for GETDATA.
============================

Maintenant, pour voir la vidéo capturée par la caméra, utilisez la commande "preview"

============
>> preview(vid)
============

Le capteur d'images peut prendre en charge plusieurs formats vidéo. Pour voir par vous-même tous les formats pris
en charge, tapez:

=======
>> dev_info = imaqhwinfo('winvideo',1);
>> celldisp(dev_info.SupportedFormats); %displays list of supported formats
=========
...

TP n°1- Apprendre l_acquisition d_images et de vidéos sur Matlab.pdf

TD n°1: La vision 2D : Extraction de caractéristiques géométriques d'objets plans
TD  VA - 2016-2017.pdf

Claude Elwood Shannon (1916-2001) était un mathématicien et ingénieur électricien américain qui est considéré comme le père de la théorie de l'information. Il a fait des contributions fondamentales dans les domaines de la théorie de l'information, la logique, les circuits électriques, la cryptographie, l'informatique et la communication.


Né à Petoskey, dans le Michigan, Shannon a obtenu un diplôme en mathématiques et en ingénierie électrique du Michigan College of Mining and Technology (maintenant appelé Michigan Technological University) en 1936. Il a poursuivi ses études supérieures à l'université du Michigan, où il a obtenu une maîtrise en mathématiques en 1937 et un doctorat en philosophie en mathématiques en 1940.

En 1948, Shannon a publié un article fondateur intitulé "A Mathematical Theory of Communication", qui a jeté les bases de la théorie de l'information. Dans cet article, il a introduit le concept d'entropie de l'information, qui mesure la quantité d'incertitude ou de désordre dans un ensemble de données. Il a également proposé la notion de canal de communication, qui représente le processus de transmission d'informations entre un émetteur et un récepteur.

Shannon a également travaillé sur la conception de circuits électriques numériques, en particulier sur les circuits de commutation de relais, qui ont permis le développement de l'informatique moderne. Il a également travaillé sur la cryptographie et a développé le concept de secret partagé, qui permet à plusieurs personnes de partager un secret sans qu'aucune d'entre elles ne puisse le connaître seule.

Au fil des années, Shannon a reçu de nombreux honneurs pour ses contributions à la théorie de l'information et à l'ingénierie électronique, notamment la médaille nationale des sciences en 1966 et la médaille Vannevar Bush en 1972. Il a également été élu membre de la National Academy of Sciences et de l'American Academy of Arts and Sciences.

Claude Shannon est décédé en 2001 à l'âge de 84 ans. Sa contribution à la théorie de l'information et à la technologie de l'information a eu un impact profond sur la science et l'ingénierie modernes.

Conception de barrages
Chapitre I Généralités
I.1 Introduction
Un barrage est un ouvrage d'art construit en travers d'un cours d'eau destiné à réguler son
écoulement et/ou à stocker de l'eau pour différents usages (eau potable, irrigation,
hydroélectricité, Protection contre les inondations...). Cet ouvrage crée soit une retenue à
niveau constant soit une retenue à niveau variable.
Les retenues à niveau variables sont créées par les barrages d'accumulation ou
d'emmagasinement. Elles sont destinées à produire un effet sur l'aval du cours d'eau :
régulariser le régime de la rivière, réduire les débits des crues et renforcer les débits d'étiage.
Selon l'usage et les matériaux utilisés, les barrages peuvent être classés en deux grandes
catégories :
- Barrages rigides.
- Barrages souples.
Tout grand barrage doit faire l'objet d'un classement en fonction des risques qu'il présente
pour les personnes et les biens. Ce classement est effectué et maintenu à jour par l'autorité
gouvernementale, dans les conditions et sur la base des méthodes et paramètres que détermine
le gouvernement par règlement, entre autres le type de barrage, sa localisation, ses
dimensions, sa capacité de retenue, son âge, son état et les conséquences d'une rupture pour
les personnes et les biens.
I.2 Choix du site du barrage
Le choix du site du barrage consiste à fixer l'axe du barrage au niveau du resserrement de la
retenue. Le concepteur a souvent le choix entre 2 ou 3 axes le long du resserrement.

Deux critères sont pris en compte : le critère géologique et puis le critère topographique.
Le critère géologique se base sur la qualité des fondations en termes de résistance, rigidité,
fracturation et pendage.
Pour pouvoir comparer géologiquement entre les axes proposés, une étude géologique et
géotechnique détaillée de chaque axe est requise. Elle doit détailler les types de fondations, la
sismicité, la stratigraphie, les degrés de fracturation, l'existence éventuelle de failles, les
profondeurs des substratums, l'étanchéité de la retenue (essais Lugeon), présence d'éventuels
Karsts (cas des roches carbonatées) les résistances et les modules de rigidité en se basant sur
des essais, les caractéristiques géotechniques des fondations (cohésion et angle de frottement
interne).
Tandis que le critère topographique dépend de deux rendements différents :
Rendement topographique : il est calculé de la façon suivante :
␋␌ =
␁␋
␎␏
Avec :
VR : le volume de la retenue calculé à l'aide des courbes HSV
Ainsi, on dresse des graphiques qui présentent la variation des rendements économiques et
topographiques en fonction de la taille du barrage.
I.3 Choix du type de barrage
I.3.1 Barrages rigides :
Les barrages rigides sont des structures en béton.
Les raisons pour lesquelles on choisit un barrage rigide sont généralement les suivantes :
␁ Nécessité d'une fondation rocheuse de bonne qualité ;
␁ Nécessité d'évacuer des crues importantes ;
␁ Présence de fonctions hydrauliques complexes dans l'ouvrage (ouvrage vanné pour
assurer, par exemple, l'évacuation des sédiments et garantir la pérennité de la retenue,
vidange de fond de fort débit) ;
␁ Incertitude sur l'hydrologie : les ouvrages rigides sont généralement moins sensibles
au déversement que les ouvrages en remblai. Sur les sites où il y a une grande
incertitude sur les crues, les variantes rigides sont souvent avantageuses (limitation
des ouvrages de dérivation provisoire et plus grande sécurité vis-à-vis du risque
hydraulique). Il faut toutefois noter que la stabilité des petits barrages poids est très
sensible au niveau des plus hautes eaux.
De façon générale, un ouvrage en béton est envisagé chaque fois que les ouvrages
hydrauliques ont une importance significative dans le projet (souvent le cas pour les barrages
de prise d'eau sur les aménagements hydroélectriques).
Il faut aussi savoir que même si ces raisons citées se présentent, il y a deux conditions
requises pour pouvoir projeter un ouvrage rigide.
La première condition porte sur la qualité de la fondation. En première approximation, on
peut énoncer la règle suivante : un barrage rigide nécessite une fondation rocheuse de bonne
qualité.
La deuxième exigence pour construire un ouvrage rigide est de disposer, dans des conditions
économiques acceptables, de granulats de bonne qualité nécessaires à sa construction dans un
rayon limité. Ces zones d'emprunt sont en général les ballastières de l'oued (problèmes
d'alcali-réaction) et/ou les carrières (souvent calcaires).
I.3.1.1 Les différents types de barrages rigides :

Selon la forme et le comportement mécanique de ces ouvrages rigides, on peut distinguer
plusieurs types.
I.3.1.1.1 Barrage poids :
Pour un barrage à profil poids, c'est le poids du béton qui assure l'équilibre de la poussée
hydrostatique et des sous-pressions. Un exemple de ces barrages est celui du barrage
MALLEH ci-après. Les sous-pressions ont un effet négatif important sur l'équilibre de
l'ouvrage.
La méthode classique d'étude de la stabilité d'un barrage poids (voir chapitre IV) consiste à
analyser l'équilibre global du barrage ou d'une partie de celui-ci sous l'action du poids, de la
poussée hydrostatique, des sous-pressions et éventuellement d'autres actions secondaires (par
exemple poussée des sédiments, action du vent ou séisme). Les critères de dimensionnement
de l'ouvrage portent sur la répartition des contraintes normales (limitation des tractions au
pied amont et limitation des contraintes de compression) et sur l'inclinaison de la résultante.
Cette méthode de calcul met en évidence le rôle majeur des sous-pressions dans l'équilibre
des barrages poids et donc l'importance du drainage.
À titre indicatif, les contraintes maximales de compression sous un profil poids traditionnel à
parement amont vertical et à fruit aval de 0,8H/1V sont de 0,35 Mpa pour un barrage poids de
25 mètres de hauteur. L'inclinaison de la résultante varie de 27 à 42° suivant les conditions de
drainage. Enfin, il convient de noter que le barrage poids en béton est un ouvrage rigide ; le
module du béton traditionnel est de l'ordre de 25 GPa, généralement supérieur au module des
fondations rocheuses sur lesquelles il repose.
Le fonctionnement mécanique du profil poids nécessite la principale exigence pour un barrage
en béton, à savoir la nécessité d'une fondation rocheuse de qualité suffisante. La condition
relative à sa faible déformabilité est généralement la plus contraignante, en particulier pour
des fondations de roches tendres ou altérées, mais la condition sur la résistance au
cisaillement élimine également le profil poids lorsque la résistance au cisaillement de la
fondation est faible (fondation marneuse, présence de joints argileux subhorizontaux dans la
fondation...).



Lorsqu'une reconnaissance approfondie de la fondation montre que ces conditions sont
réunies, le barrage voûte s'avère souvent une solution économique pour les petits barrages car
il minimise de façon très importante les volumes de béton à mettre en oeuvre.
Par ailleurs, la conception et la construction sont simples pour des ouvrages de moins de 25
mètres, si l'on s'en tient à des formes géométriques simples.
Le barrage voûte présente aussi l'avantage d'être peu sensible à la submersion pour autant que
celle-ci reste de courte durée et d'amplitude modérée (risque d'érosion du pied aval). En
outre, il permet d'avoir une meilleure résistance au séisme et au soupression vu son volume et
sa surface d'assise relativement petits.
Cependant, le barrage voûte a aussi des inconvénients :
␁ Les contraintes sont importantes dans le béton et dans le rocher.
␁ La dilatation thermique est à considérer. Un suivi thermique s'impose durant toute la
durée d'exploitation du barrage ;
␁ L'intégration de l'évacuateur de crue dans le barrage est difficile.
␁ Les soupressions dans les fissures du rocher peuvent provoquer des glissements
d'appuis.
Au Maroc, depuis la construction du barrage Asfalou sur oued Melouiya, la variante a été
pratiquement écartée pour les barrages en conception vu les problèmes liés à l'aspect
thermique et aussi les nombreuses réparations en injection que ce barrage a connues.Cours Barrage 2_compressed.pdf

Système de transmission par fibre optique

Système de transmission par fibre optique
1. Introduction
Avec l'augmentation très rapide du nombre d'utilisateurs, ainsi que des nouveaux services implémentés, le besoin croissant de débit nécessitait des composants très performants. Pour répondre à ce problème, des techniques et des équipements ont été inventés. Plusieurs évolutions ont eu lieu et un nouveau type de support de transmission a été mis en place, la fibre optique, dans laquelle l'information codée sous forme de lumière délivrée par une source Laser.
Au début, les fibres optiques étaient essentiellement utilisées pour des liaisons poste à poste sur de longues distances, au fur et à mesure, elles deviennent beaucoup plus utilisées dans les entreprises, les bâtiments ainsi que dans les maisons, mais le passage des connections existantes classiques vers les fibres optiques, a entraîné la nécessité de remplacer plusieurs composants électroniques tel que les composants de routage, les émetteurs et les filtres par des composants photoniques.
L'idée d'utiliser des systèmes de communications optiques au lieu des systèmes de communications classiques à base d'électrons offre d'excellents avantages tels que: la rapidité de traitement de l'information, l'importance de la vitesse de propagation, la diminution rapport signal/ bruit, et le débit binaire élevé. Le développement croissant des performances en matière de transmission de l'information entraîne toujours plus d'exigences sur le plan de support de propagation des données. L'utilisation de la fibre optique comme un support de transmission étaient largement répandu grâce au concept de confinement de la lumière.
2. Schéma synoptique d'une chaine de transmission
Le transfert de l'information de données sous forme de lumière sur une longue distance, est assuré par un système de télécommunication optique. Ce système est composé de trois éléments fondamentaux: un émetteur, un canal de transmission (fibre optique) et un récepteur. La figure 1 représente le schéma synoptique général d'une chaine de transmission par fibre optique.
3
Figure 1: Schéma représentatif d'une chaine de transmission optique.
3. Le bloc d'émission et de réception
3.1. L'émetteur optique
Dans un système de transmission, le bloc d'émission est un dispositif qui à deux fonctions essentielles: la génération d'un signal optique et la modulation de l'information à transmettre. La source optique utilisée est constituée d'une diode laser, elle est la mieux adaptée pour les systèmes de télécommunications optiques (figure 2).
Figure 2 : Schéma représentatif d'un émetteur optique.
3.1.1. Source optique
Dans les systèmes de communication les sources optiques utilisées sont les diodes électroluminescentes et les diodes lasers. Leurs fonction est de convertir une énergie
Source optique
Modulation de données
Sortie optique
Signal électrique
4
électrique en énergie optique. Les diodes laser sont les plus utilisées pour la transmission de l'information par fibre optique.
3.1.1.1. Diode électroluminescente
La diode électroluminescente connue sous l'appellation DEL ou LED (light-emitting diode) est une jonction PN polarisée en direct. C'est un composant optoélectronique simple, capable d'émettre un rayonnement monochromatique incohérent pour des applications bas débit. Le principe d'émission est basé par la recombinaison des pairs électron-trou, lorsqu'elle est parcourue par un courant électrique. Elle émet dans des bandes de fréquences autour des longueurs d'onde de 0.85μm, 1.3 μm et 1.55 μm.
3.1.1.2. Diode laser
La diode laser est une source cohérente et monochromatique et cohérente grâce à l'émission stimulée. Elles sont utilisées dans les systèmes de transmission à très grande distance. Las diodes lasers sont caractérisées par une large bande spectrale, une faible consommation énergétique, un spectre relativement étroit et une meilleure efficacité de couplage avec la fibre optique. Elles sont utilisées dans les systèmes WDM.
❖ Bruit des lasers
A la sortie d'un laser à semi-conducteur le signal optique est affecté par des bruits. Les fluctuations en d'amplitude, phase et fréquence sont dus par l'émission spontanée et la recombinaison électron trou (bruit de grenaille). Le signal émis par l'émission stimulée sera perturbé et déformé grâce à l'ajout à ce signal une composante d'un champ aléatoire par le photon émis de l'émission spontanée. Les fluctuations de phase conduisent à l'élargissement du spectre de la raie émise à la sortie du laser par contre celle de l'amplitude conduisent à un rapport signal à bruit SNR.
3.1.2. Modulation directe
La modulation directe est la modulation la plus simple à mettre en oeuvre (figure 3). Le courant d'alimentation qui traverse la diode laser sera modulée directement en intensité émise par celle-ci (figure 4). Cette solution requiert peu de composants et peu coûteuse. Mais son inconvénient est c'est lorsqu'on module en amplitude le courant d'alimentation d'un laser, il
5
est accompagné d'une modulation de fréquence parasite appelée chirp. La figure 4 montre le schéma représentatif d'un module d'émission en modulation directe.
Figure 3 : Modulation directe.
Figure 4 : Schéma représentatif d'un module d'émission en modulation directe.
3.1.3. Modulation externe
Dans cette modulation l'émetteur envoie un signal optique pur suivi d'un modulateur externe (figure5). Le courant injecté par le laser n'est plus modulé. Cette modulation est la plus favorisée pour les télécommunications à longue distance et à haut débit et pour des fréquences très élevées à partir de 5 à 10Ghz. Elle est plus rapide que celle de la modulation directe. Elle permet d'écrire les données électriques sur un signal optique continu et permet d'éliminer l'effet de chirp. Sa bande passante est de plus 80 GHz, plus importante que celle de la modulation directe qui est de 5 GHz. La figure 6 montre d'un module d'émission en modulation directe.
Figure 5: Schéma représentatif d'un module d'émission en modulation directe
Signal électrique
Source laser
Signal optique
Circuit de commande
Source optique
Modulateur
Signal optique
Circuit de commande
Signal électrique
6
Figure 6 : Modulation externe.
Dans types de modulateurs sont les plus utilisés dans l'industrie des télécommunications optiques : le modulateur Mach-Zehnder (MZM) et le modulateur électro-absorption (EAM)
3.2. Le canal de transmission
Le canal de transmission est constitué par une fibre optique qui véhicule une porteuse optique modulée contenant de l'information.
3.3. Le récepteur optique
La fonction d'un récepteur dans une chaine de transmission optique est de détecter le signal optique par une ou plusieurs photodiodes. Les photo-détecteurs les plus utilisées sont :
❖ les photodiodes PIN
❖ les photodiodes APD.
Leur rôle est de convertir le signal optique reçu en un signal électrique qui peut ensuite être traité par des systèmes électroniques plus conventionnels.
4. Structures et familles des liaisons numériques
4.1. Liaison point à point sans répéteur
Correspondant aux fenêtres de longueurs d'onde utilisées dans un système de transmission optique, Il existe 4 grandes familles de liaisons sur fibres optiques (figure 7). Leurs portées sont limitées : d'une part, par l'atténuation et d'autre part par la dispersion de la fibre.
7
Figure 7 : Familles de liaisons numériques sur fibres optiques
4.1.1. Première famille
La première famille est celle des transmissions autour de 0.67μm sur fibres optiques en plastiques à très courte distance. Les applications utilisées sont des applications industrielles locales à très courte distance (liaison entre micro-ordinateur, câblage d'ateliers, etc...) et avec des débit jusqu'à 100 à 200 Mbits/s pour des raisons de sécurité électrique et des perturbations provenant des autres équipements, ou plus généralement de l'environnement. Elle s'implémente dans domaines de la domotique, du multimédia et de l'équipement automobile.
4.1.2. Deuxième famille
Cette famille fonctionne à 0.85μm avec des DEL, sur courtes des distances de l'ordre du Km. Les fibres utilisées sont à base de silice, multimodes et à gradient d'indice. Ces systèmes sont peu couteux au niveau des connections et interfaces. Les applications utilisées sont dans les domaines informatiques et industriels (réseau locaux, distribution, surveillance vidéo).
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4.1.3. Troisième famille
La troisième famille est celle des liaisons autour de 1.3 μm, qui utilisent des fibres monomodes standards et des diodes lasers. L'atténuation est faible ce qui permet de faire des liaisons à haut débit jusqu'à 50 Km, sans répéteurs, ce qui correspond au marché des réseaux métropolitain et locaux à haut débit (à 1 et 10Gbits/s).
4.1.4. Quatrième famille
Cette famille fonctionne à 1.55μm à longues distance, qui nécessitent des diodes lasers monochromatiques de type (DFB).Sans amplification du signal optique, les distances seront limitées à 200km à cause de l'atténuation, à des débits de 10 à 40 Gbit/s. Des fibres monomodes standard (G652) avec une compensation de dispersion chromatique et des répéteurs à amplification optique, sont utilisées pour des distances très longues (terrestres et sous-marines).
4.2. Liaison à amplification optique
En transmission point à point peut être réalisée par :
4.2.1. Le post- amplificateur
Dans un système de transmission optique, le post-amplificateur appelé aussi amplificateur de puissance (booster amplifier) il est placé, à la sortie du l'émetteur. Son rôle est d'augmenter la puissance de sortie afin de lui permettre d'être transmis transmis sur une longue distance et d'accroître d'autant le budget total de la liaison (figure .
Figure 8 : Le post-amplificateur
4.2.2. Amplification en ligne
Dans les systèmes de transmission optiques, les signaux transmis seront amplifiés après une certaine distance, par des amplificateurs optiques placés sur ligne afin de lui permettre de parcourir une autre distance. Ces derniers ont pour fonction de compenser l'atténuation du signal par la fibre et les différentes pertes risquées (figure 9).
9
Figure 9 : Amplificateur en ligne
4.2.3. Le préamplificateur
Le préamplificateur est situé à l'entrée du module de réception juste avant les photo- détecteurs, ils sont le même principe de fonctionnement d'un laser. Son rôle est d'augmenter la sensibilité du récepteur et le budget de la liaison ; ici la minimisation du facteur de bruit est très recherchée (figure10).
Figure 10 : Le préamplificateur
4 .3. Liaison multiplexé WDM (MULTIPLEXAGE EN LONGUEUR D'ONDE)
Une seconde évolution a vu le jour avec une nouvelle méthode de multiplexage, il s'agit du multiplexage en longueur d'onde (WDM), dont le principe consiste à utiliser plusieurs longueurs d'ondes pour transporter plusieurs canaux sur la même fibre optique tout en évitent d'utiliser de nouveaux câbles(figure 11).. Ce procédé permet d'augmenter la capacité de transmission. En utilisant N diodes lasers à spectre fin, afin d'envoyer les signaux optiques de longueurs d'ondes différentes. N est le nombre de voies utilisées, et chaque voie représente un canal de transmission. Grace à la technologie de multiplexage, ces longueurs d'ondes seront simultanément transmises dans une seule fibre optique monomode. Il faut que l'espacement Δλ entre elles, ne soit pas assez faible pour qu'elles ne s'interférent pas. A
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chaque intervalle régulier de 50 à 100 Lorsque Chaque 100 Km les signaux seront amplifiés. A la A la réception, les ondes optiques seront détectées par les N photodiodes, après avoir séparées par un démultiplexeur optique.
Il existe plusieurs systèmes de multiplexage en longueurs d'onde qui sont différenciés par le nombre de canaux utilisables dans la fibre optique. Nous parlerons de DWDM (Dense WDM) si l'intervalle entre deux longueurs d'onde est inférieur ou égal à 0.8nm (soit 100 GHz) ce qui autorise 40 longueurs d'onde dans la bande C. Lorsque 160 canaux peuvent être utilisables dans une même fibre avec un espacement de 0.2 nm et 0.4nm entre deux longueurs d'ondes, nous parlerons de UDWDM (Ultra Dense WDM). Une autre forme moins performante est le CWDM (Coarse WDM), pour ce système de multiplexage dix-huit canaux au maximum sont utilisés (figure 12).
.
Figure 11: Principe d'une liaison WDM.
L'union Internationale de Télécommunication (ITU-TG-692), autorise l'utilisation de longueurs d'ondes comprises entre 1530 et 1565nm, tel que l'espacement entre les longueurs d'onde est en nm ou en GHz. Le tableau ci-dessous présente le nombre de canaux suivant l'espacement Δλ
Figure 12 : Les systèmes WDM
11
Le démultiplexeur optique est le dispositif dont nous avons besoin pour séparer ces canaux et les livrer à l'utilisateur approprié. Il fait appel à une fonction indispensable qui est le filtrage, pour sélectionner un canal parmi plusieurs porteuses du Multiplexeur. La lumière sera filtrée, ensuite elle sera extraite vers les canaux de sorties.
5. Structure de réseaux optiques
Pour qualifier une fibre optique, plusieurs technologies ont été développées. Plusieurs techniques existent de raccordement et de performances existent. Afin d'augmenter la qualité de service et le débit, une nouvelle technique à été utilisée, c'est la technologie FTTx (fiber to the x) . Cette technologie consiste à amener la fibre optique jusqu'à l'abonné. En fonction de la destination du réseau et de la technique de raccordement différentes configurations sont envisageables: FTTN (Fiber To The Node), FTTB (Fiber To The Building), FTTO (Fiber To The Office), FTTC Fiber (To The Curb) FTTH ( fiber to the home).Ces systèmes sont les meilleurs candidats pour les réseaux d'accès de nouvelle génération, et cela est du aux avantage qu'offre la fibre optique(figure 13).
Figure 13 : Différents types de technologies.
5.1. FTTH – Fiber to the Home-Fibre jusqu'à l'abonné.
C'est un type de réseau de télécommunications physique qui permet l'accès à l'internet jusqu'à l'usager à de très haut débit. Elle permet de transférer l'information sous forme des signaux optiques transmis dans des câbles en fibres de verre fines. Elle est principalement utilisé dans les zones urbanisées.
12
Deux types de topologies physiques qui permettent d'amener la fibre jusqu'au client final :
L'architecture point à point passif (architecture active)
L'architecture point multipoint (architecture passive)
5.1.1. Architecture point à point passif (P2P)
Les systèmes « point à point » sont les plus simples à mettre en oeuvre. Chaque client est relié au central par une fibre optique qui lui est dédiée. Le déploiement de cette architecture est couteuse, parce qu'elle nécessite de déployer un nombre important de fibres. Elle consiste à relier directement le client au central téléphonique (Central Office) en utilisant une fibre optique. De plus, si une nouvelle maison doit être ajoutée, une nouvelle fibre doit être mise en place. Cette technique permet une bande passante maximale et aucun partage de débit n'est possible (figure14).
Figure 14: FTTH point à point passif
5.1.2. Architecture point -multipoint passif ou PON (Passive Optical Network)
Dans cette architecture connue sous le nom de PON, la fibre optique part du central et dessert plusieurs utilisateurs. Le raccordement de cette fibre aux différents usagers se fait par un composant passif qui est le coupleur ou splitter 1xN placé à proximité de la zone à desservir. Les pertes du coupleur sont l'inconvénient majeur de cette architecture, affectent le budget de liaison. Cette architecture offre l'avantage de limiter le nombre de fibres à déployer par contre elle est moins sécurisée (figure15).
13
Figure 15: Architecture point -multipoint passif ou PON
La présence de coupleurs dans cette architecture forme un arbre optique, 32 ou 64 utilisateurs se partagent la même fibre optique.
5.1.3. Architecture point -multipoint actif
Cette architecture est similaire à l'architecture précédente (point multipoint passif), sauf que le composant passif (le coupleur) est remplacé par un composant actif.
Figure 16: Architecture point - point -multipoint actif
Les données envoyées depuis le central sont traitées par le commutateur qui permet d'aiguiller le signal et le transmet uniquement sur la fibre de l'abonné destinataire. L'inconvénient
14
unique de cette architecture est la nécessité d'avoir une alimentation pour alimenter l'élément actif (figure16).
5.1.4. Architecture mixte
Une architecture, moins couteuse a été envisagées pour faire venir la fibre optique proche de l'utilisateur : en FTTB ; FTTN ; FTTC, est de couvrir les derniers dizaines ou centaines de mètres qui restent avec un réseau cuivre (DSL avec le réseau téléphonique).Le débit de cette architecture est moins élevé qu'avec une architecture FTTH point à point ou point multipoint(figure17)..
Figure 17: Architecture mixte
6. La multiplexage par répartition de code (CDMA)
La technique CDMA (Code Division Multiple Access), est une technique qui permet la transmission simultanée des signaux lumineux sur la même bande de fréquence. Cette technique permet d'étaler la bande spectrale de l'information transmise sur une bande N fois plus large, ou N est la longueur du code. D'où les différents signaux sont distingués par des codes différents associés à chacun des clients.Système de transmission par fibre optique .pdfSystème de transmission par fibre optique .pdf[/attach]

Abaque de Smith
1. Introduction
Abaque de Smith est un outil graphique, développé en 1939 par P.Smith, pour visualiser le
comportement des lignes de transmission et des circuits mico-ondes. Il permet d'effectuer
graphiquement le passage entre le coefficient de réflexion à l'extrémité d'une ligne et
l'impédance de charge. Ce graphe polaire consiste à superposer deux plans complexes, un
constitué d'un ensemble de courbes qui représente l'impédance de charge et l'autre cartésien
pour le coefficient de réflexion.
2 .Construction
L'Abaque de Smith est un outil graphique, normalisé par rapport à l'impédance
caractéristique de la ligne.
Rappelons l'équation du coefficient de réflexion qui est donné par :
Suite chapitre 1-Abaque de Smith.pdf

Guide d'onde rectangulaire
1
Guide d'onde rectangulaire
1. Introduction
Un guide d'onde rectangulaire est un tube métallique creux à l'intérieur. Il possède une section conductrice rectangulaire de longueur a sur l'axe x et de hauteur b sur l'axe y .Il est remplit à l'intérieur par un diélectrique parfait - souvent par l'air-. Il existe d'autres types de guides de section circulaire et elliptique. Lorsqu'une onde électromagnétique se propage à l'intérieur du guide rectangulaire, elle est confinée par les quatre parois métalliques qui sont des conducteurs parfaits (figure1). Il est destiné à la propagation des ondes hertziennes. Les guides d'ondes rectangulaires sont utilisés dans le domaine des télécommunications dans le but de minimiser l'atténuation de l'onde électromagnétique. Pour obtenir des informations sur les champs électriques et magnétiques, il faut résoudre l'équation de l'onde issue des quatre équations de Maxwell en utilisant les conditions aux limites imposées par les parois du guide.
Figure 1 : Représentation d'un guide d'onde rectangulaire de longueur a sur l'axe x et de hauteur b sur l'axe y
Deux modes supérieurs peuvent se propager dans le guide :
Mode TE : E et transverse
𝐸𝑧=0 , 𝐻𝑧≠0
Mode TM : H et transverse
𝐸𝑧≠0 et 𝐻𝑧=0
Les champs 𝐸⃗ et 𝐻⃗⃗ guidés dans le guide métallique à section rectangulaire s'écrivent :
𝑥
𝑦
𝑧
𝑎
𝑏
2
𝐸𝑧(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝐸(𝑥,𝑦)𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝛾𝑧) 𝐻𝑧(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝐻(𝑥,𝑦)𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝛾𝑧)
Suivant les équations de Maxwell on a :
𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =−𝑗𝜔𝜇𝐻⃗⃗ , 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ =−𝑗𝜔𝜀0𝐸⃗ , 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ =0 , 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ =0
On a 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ )⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −Δ𝐸 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ =𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑑𝑖𝑣𝐻⃗⃗ )⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −Δ𝐻
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =𝜔2𝜀0μ0𝐸= −Δ𝐸 ⇒ 𝜕2𝐸𝜕𝑥2+ 𝜕2𝐸𝜕𝑦2+𝜕2𝐸𝜕𝑧2=−𝜔2μ0𝜀0𝐸
⇒𝜕2𝐸𝜕𝑥2+ 𝜕2𝐸𝜕𝑦2+𝜕2𝐸𝜕𝑧2+𝜔2μ0𝜀0𝐸=0..............(*)
l'équation * est l'équation d'une onde qui se propage dans le guide
Mode TE ⇒𝐸𝑧=0 et 𝐻𝑧≠0
Mode TM ⇒𝐸𝑧≠0 et 𝐻𝑧=0
En polarisation TM 𝑬𝒛≠𝟎
H et transverse ⇒ H est dans le plan (𝑥,𝑦)⊥𝑜𝑧
𝐻𝑧=0 , 𝐸𝑧≠0
On a l'équation suivante : 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝐸𝑧(𝑥,𝑦)𝑒−𝑗(𝜔𝑡)𝑒−𝛾𝑧 Δ𝐸𝑧+𝜔2𝜀0𝜇0𝐸𝑧(𝑥,𝑦)=0 𝜕𝜕𝑧=−𝛾 𝜕2𝜕𝑧2=+𝛾2 𝜕2𝜕𝑥2𝐸+𝜕2𝜕𝑦2𝐸+(𝛾2+𝜔2𝜀0μ0)𝐸=0 𝜕𝜕𝑡=𝑗𝜔𝜕2𝜕𝑡2= −𝜔2
On sait que∶ 𝛾2+𝜔2𝜀0μ0=𝑘2 𝐸=𝑋.𝑌 1𝑋𝜕2𝑋𝜕𝑥2+1𝑌𝜕2𝑌𝜕𝑦2+𝑘2≠0 𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑘2=𝐴2+𝐵2
3
1𝑋𝜕2𝑋𝜕𝑥2+𝐴2=0 ⇒ 𝜕2𝑋𝜕𝑥2+𝐴2𝑋=0 1𝑌𝜕2𝑌𝜕𝑦2+𝐵2=0 ⇒ 𝜕2𝑌𝜕𝑦2+𝐵2𝑌=0
La solution est de la forme : 𝑋=𝑐1cos𝐴𝑥+𝑐2sin𝐴𝑥 𝑌=𝑐3cos𝐵𝑦+𝑐4sin𝐵𝑦
Condition aux limites : pour 𝑥=0, 𝐸=0
Pour 𝑥=𝑎 𝐸=0
{0=𝑐1+00=𝑐3+0 ⇒ {𝑐1=0𝑐3=0 𝑝𝑜𝑢𝑟 { 𝑦=𝑏𝑥=𝑎 ⇒ 𝐸=0 0=𝑐2sin𝐴𝑎 ⇒ 𝐴𝑎=𝑚𝜋 ⇒ 𝐴=𝑚𝜋𝑎 0=𝑐4sin𝐵𝑏 ⇒ 𝐵𝑏=𝑛𝜋 ⇒ 𝐵=𝑛𝜋𝑏
𝐸=𝑋.𝑌=𝑐2𝑐4sin𝐴𝑥sin𝐵𝑦𝑒𝑗((𝜔𝑡)−𝛾𝑧) 𝐸=𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝛾𝑧 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =−𝜇𝜕𝜕𝑡𝐻 { 𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐸𝑦𝜕𝑧=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥𝜕𝐸𝑥𝜕𝑧−𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑧⇒{ −𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐸𝑦=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥𝛾𝐸𝑥−𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=−𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=0
Et on a { 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐻𝑦𝜕𝑧=+𝑗𝜔ɛ𝐸𝑥𝜕𝐻𝑥𝜕𝑧−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜔ɛ𝐸𝑦𝜕𝐻𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑧⇒{+𝛾𝐻𝑦=+𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥−𝛾𝐻𝑥=+𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦=𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦=[+𝑗𝜔𝜇(𝑗𝜔ɛ𝛾)−𝛾]𝐸𝑦
4
−𝜇𝜀𝜔2−𝛾2𝛾𝐸𝑦=𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦⇒𝐸𝑦=−𝛾𝐸0𝑘2𝑛𝜋𝑏sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦
On a : −𝛾2=+𝑘𝑔2
De la même manière on cherche 𝐸𝑥
On a les équations suivantes: −𝛾𝐸𝑥−𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=−𝑗𝜔𝜇(𝑗𝜔ɛ𝛾)𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=(𝑗2𝜔2𝜇ɛ−𝛾2𝛾)𝐸𝑥=−(𝑘2𝛾)𝐸𝑥 𝐸𝑥=−𝛾𝑘2(+𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦)𝑒−𝛾𝑥𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐸𝑥=(−𝛾𝑘2𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦)𝑒−𝛾𝑥𝑒𝑗𝜔𝑡 𝛾=𝑗𝑘𝑔 { 𝐸𝑥=−𝑗𝑘𝑔𝑘2𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧𝐸𝑦=−𝑗𝑘𝑔𝑘2𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧𝐸𝑧=𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦
𝐻𝑥?𝐻𝑦? 𝐻𝑥=−𝑗𝜔𝜀𝛾𝐸𝑦=−𝑗𝜔𝜀𝑗𝑘𝑔𝐸𝑦 𝐻𝑥=−𝜔𝜀𝑘𝑔(−𝑗𝑘𝑔𝑘2)𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐻𝑥=𝑗𝜔𝜀𝑘2𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐻𝑦=𝑗𝜔𝜀𝛾𝐸𝑥=𝑗𝜔𝜀𝑗𝑘𝑔𝐸𝑥 𝐻𝑦=𝜔𝜀𝑘𝑔(−𝑗𝑘𝑔𝑘2)𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐻𝑦=−𝑗𝜔𝜀𝑘2𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐻𝑧=0
On trouve :
5
{ 𝐻𝑥=𝑗𝜔𝜀𝑘2𝑛𝜋𝑏𝐸0sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧𝐻𝑦=−𝑗𝜔𝜀𝑘2𝑚𝜋𝑎𝐸0cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧𝐻𝑧=0
La fréquence de coupure : 𝛾2+𝜔2𝜀0𝜇0=𝐴2+𝐵2 𝛾2+𝜔2𝜀0𝜇0=(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2 𝛾=√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2−𝜔2𝜀0𝜇0 𝛾>0 ⇒ 𝛾=𝛼 ⇒ 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2>𝜔2𝜀0𝜇0 𝛾<0 ⇒ (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2<𝜔2𝜀0𝜇0
La fréquence de coupure est calculée fc quand on a l'égalité suivante : (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2= 𝜔𝑐2𝜀0𝜇0 𝑓𝑐=12𝜋𝑐√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2
Mode TE : E et transverse ⇒ E est dans le plan (𝑥,𝑦)⊥𝑜𝑧
𝐸𝑧=0 , 𝐻𝑧≠0 𝜕2𝐻𝑧𝜕𝑥2+ 𝜕2𝐻𝑧𝜕𝑦2+(𝛾2+𝑘𝑔2)⏞ 𝐴2+𝐵2𝐻𝑧(𝑥,𝑦)=0
On suppose que 𝐻𝑧(𝑥,𝑦)=𝑋.𝑌 ⇒ 𝜕2𝑋.𝑌𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑋.𝑌𝜕𝑦2+(𝐴2+𝐵2)𝑋.𝑌=0 𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑋.𝑌
On obtient :
6
1𝑋𝜕2𝑋.𝜕𝑥2+ 1𝑌𝜕2𝑌𝜕𝑦2+(𝐴2+𝐵2)=0{ 𝜕2𝑋.𝜕𝑥2+𝐴2𝑋=0𝜕2𝑌𝜕𝑦2+𝐵2𝑌=0 𝑋=𝑐1cos𝐴𝑥+𝑐2sin𝐴𝑥 𝑌=𝑐3cos𝐵𝑦+𝑐4sin𝐵𝑦
Conditions aux limites 𝑥=0 ⇒Ey=0 𝑥=𝑎 ⇒Ey=0
𝑦=0 ⇒E𝑥=0, 𝑦=𝑏 𝐸𝑥=0
On a d'après les équations de Maxwell. 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ =−𝑗𝜔𝜀𝐸⃗
𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐻𝑦𝜕𝑧=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐻𝑦=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥 ( 1)
{ 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐻𝑦𝜕𝑧=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥𝜕𝐻𝑥𝜕𝑧−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦𝜕𝐻𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦=0⇒{ 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐻𝑦=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥...............(1)−𝛾𝐻𝑥−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦...............(2)𝜕𝐻𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦=0.....................(3) 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐻𝑦=𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥 (1) −𝛾𝐻𝑥−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑦 (2) 𝜕𝐻𝑦𝜕𝑥=𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦 (3)
𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =−𝜇𝜕𝐻𝑥𝜕𝑡 𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦−𝜕𝐸𝑦𝜕𝑧=−𝜇𝜕𝐻𝑥𝜕𝑡⇒ 0−(−𝛾𝐸𝑦)=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑥 𝜕𝐸𝑥𝜕𝑧−𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥=−𝜇𝜕𝐻𝑦𝜕𝑡⇒ −𝛾𝐸𝑥−0=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑦 𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=−𝜇𝜕𝐻𝑧𝜕𝑡⇒ 𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑧
7
+𝛾𝐸𝑦=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑥..................(4) −𝛾𝐸𝑥=−𝑗𝜇𝜔𝐻𝑦......... ......(5) 𝜕𝐸𝑦𝜕𝑥−𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦=−𝑗𝜇𝜔 𝐻𝑧... ......(6)
Les équations (1) et (5) donnent : 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾𝐻𝑦=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑥
On a d'après (5) 𝐻𝑦=𝛾𝑗𝜇𝜔𝐸𝑥 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦+𝛾2𝑗𝜇𝜔𝐸𝑥=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑥⇒ 𝐸(𝑥)(𝑗𝜀𝜔−𝛾2𝑗𝜇𝜔)=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦 𝐸𝑥(−𝜔2𝜀μ−𝛾2𝑗𝜇𝜔)=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
On a 𝛾=𝑗𝑘𝑔⇒ 𝛾2=(𝑗𝑘𝑔)2=−𝑘𝑔2
(𝛾2−𝜔2𝜀𝜇𝑗𝜇𝜔)𝐸𝑥=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦⇒
Les équations (2) et (4) donnent −𝛾𝐻𝑥−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑦 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐻𝑥=−𝛾𝑗𝜇𝜔𝐸𝑦 +𝛾2𝑗𝜇𝜔𝐸𝑦−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥=𝑗𝜀𝜔𝐸𝑦⇒ 𝐸𝑦(𝑗𝜀𝜔−𝛾2𝑗𝜇𝜔)=−𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥 𝐸𝑦(𝛾2𝑗𝜇𝜔−𝑗𝜀𝜔)=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥 ⇒ 𝐸𝑦(𝛾2+𝜀𝜇𝜔2𝑗𝜇𝜔)=𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
Les conditions auxlimites
𝐸𝑥=−𝑗𝜇𝜔𝛾2+𝜇𝜀𝜔2𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔𝛾2+𝜇𝜀𝜔2𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
8
{𝐸𝑥=0𝑦=0,𝑦=𝑏 ⇒ 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦=0 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦=0 ⇒ 𝑐3cos𝐵𝑥0+𝑐4sin𝐵𝑥0=0 ⇒
𝐵𝑐3sin𝐵𝑦+𝐵𝑐4cos𝐵𝑦=0 ⇒ 𝑐4=0 𝑦=𝑏 ⇒ 𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦=0 ⇒ 𝐵𝑐3sin𝐵𝑏=0⇒ 𝑦=𝑐3cos𝑛𝜋𝑏
De la même manière
On a : 𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔𝛾2+𝜀𝜇𝜔2𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦 𝑋=𝑐1cos𝐴𝑥+𝑐2sin𝐴𝑥 𝑑𝑋𝑑𝑥=−𝐴𝑐1sin𝐴𝑥+𝐴𝑐2cos𝐴𝑥 𝑥=0 ⇒ 𝐸𝑦=0, 𝑥=𝑎 ⇒ 𝐸𝑦=0 −𝐴𝑐1. 0+𝐴 𝑐2cos𝐴𝑥=0 ⇒ 𝑐2=0 𝑥=𝑎 ⇒ 𝐸=0 ⇒ 𝐴 𝑐2cos𝐴𝑥=0 ⇒ 𝐴.𝑎=𝑛𝜋
𝐻𝑧=𝑋.𝑌= 𝑐1𝑐2cos𝑚𝜋𝑎cos𝑛𝜋𝑏
𝛾=𝑗𝑘𝑔 ⇒ 𝛾2=− 𝑘𝑔2 ⇒ 𝛾2+ 𝑘02=𝑘2 − 𝑘𝑔2+𝜔2𝜀0𝜇0=𝑘2 ⇒ 𝑘2=𝜔2𝜀0𝜇0−𝑘𝑔2
Fréquence de coupure :
𝐵=𝑛𝜋𝑏
𝐴=𝑛𝜋𝑎
𝐻𝑧=𝐻0cos𝑚𝜋𝑎cos𝑛𝜋𝑏𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑧)
𝑘2=𝜔2𝜀0𝜇0−𝑘𝑔2
9
𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑘0=2𝜋�0=2𝜋𝑓𝑐 𝑘𝑔=2𝜋�𝑔
On a 𝐴2+𝐵2=𝛾2+𝑘02=𝑘2 𝛾2=𝑘2−𝑘02=(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2−𝜔2𝜀0𝜇0
Ce qui donne : 𝛾=√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2−𝜔2𝜀0𝜇0
On va discuter la propagation dans le guide suivant 𝛾
Si 𝛾>0 ⇒ 𝛼=𝛾 ⇒ 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑔𝑢𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑒 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2>𝜔2𝜀0𝜇0 𝑐𝑒 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
Si 𝛾<0 ⇒ (𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2>𝜔2𝜀0𝜇0𝛾 (𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠) 𝜔2𝜀0𝜇0>(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
Pour 𝜔𝑐2𝜀0𝜇0=(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2donc 𝜔𝑐 est la fréquence de coupure 𝜔𝑐2=1𝜀0𝜇0(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2⇒𝜔𝑐=𝑐√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2 ⇒ 𝑓𝑐=12𝜋𝑐√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2
𝑓<12𝜋𝑐√(𝑛𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2 𝑙′𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑣𝑎𝑛𝑒𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒
Donc en mode 𝑇𝐸 𝑚,𝑛 la propagation ne peut se faire que pour 𝑓>𝑓𝑐
Avant de trouver les modes on doit d'abord calculer 𝐸𝑥,𝐸𝑦,𝐸𝑧
𝑓𝑐=12𝜋𝑐√(𝑚𝜋𝑎)2+(𝑛𝜋𝑏)2
10
𝐸𝑥=𝑗𝜇𝜔𝑘𝑔2−𝜔2𝜀𝜇(−𝐻0𝑛𝜋𝑏cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦)𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑥=𝑗𝜇𝜔𝑗(𝜔2𝜀𝜇−𝑘𝑔2)𝐻0𝑛𝜋𝑏cos𝑚𝜋𝑎𝑥sin𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔𝛾2+𝜔2𝜀𝜇[−𝐻0𝑚𝜋𝑎sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦]𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔−𝑘𝑔2+𝜔2𝜀𝜇[−𝐻0𝑚𝜋𝑎sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦]𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑦=𝑗𝜇𝜔𝑘2𝐻0𝑚𝜋𝑎sin𝑚𝜋𝑎𝑥cos𝑛𝜋𝑏𝑦𝑒−𝑗𝑘𝑔𝑧 𝐸𝑧=0
Le mode 𝑇𝐸 0,0 n'existe pas

Les Lignes de Transmission

1
Partie 1
Les Lignes de Transmission
1. Introduction
On peut négliger l'aspect de la propagation des ondes électromagnétiques dans un système électrique, en basse fréquence. Les courants et les tensions sont constants tout au long du conducteur qui le parcourt puisque la longueur d'onde est plus grande que la taille de ce dernier. Par contre ils varient tout au long des différents éléments du circuit en haute fréquence. Les lignes de transmission traitent la variation des courants et des tensions en fonction du temps.
Qu'est ce que une ligne de transmission ?
Une ligne de transmission (feeders) en anglais, est une structure qui permet de transférer de l'énergie d'un point à un autre sur un support physique. Ont retrouvent partout les lignes de transmission, chez les compagnies de téléphones, réseau informatique, circuit imprimé, sonde d'oscilloscope etc........
2. Différents types de lignes
Il existe plusieurs types de lignes de transmissions, nous allons en décrire quelques-unes des plus employées.
La ligne bifilaire: Historiquement, c'est la première ligne utilisée. Elle est formée de 2 conducteurs cylindriques identiques parallèles entre eux, on la rencontre sous forme torsadée dans le réseau téléphonique 'filaire'. Un exemple est donné à la figure 5.1.
a) b)
Métal
Gaine diélectrique
Ligne bifilaire
Ligne bifilaire isolée
Figure 5.1 : a) lignes bifilaires b) lignes bifilaires torsadées
2
La ligne coaxial : est une ligne très utilisée, elle est formé d'un conducteur central et d'une tresse en cuivre séparés par une gaine en plastique. Il permet de transporter des signaux de toutes les fréquences, selon les dimensions. Un exemple est donné à la
figure 5.2.
Les lignes planaires: Elles sont de bonne qualité en termes de propagation pour de faibles puissances. Parmi les lignes planaires on trouve les lignes micro-rubans, les lignes coplanaires et les lignes à fentes. La ligne micro-ruban est la plus utilisé pour les circuits intégrés à haute fréquence contrairement à la ligne à fente est moins utilisée en raison des pertes importantes en HF
3. Modèle circuit d'une ligne de transmission
3.1 Introduction
Pour modéliser une ligne de transmission on va la découper en petit tronçon d'une section de longueur infinitésimale (dx), et chaque tronçon va être modélisé sous la forme d'un circuit électrique, basé sur des composants simples (résistances, inductances et capacités), capable de reproduire fidèlement le comportement de la ligne (figure 5.4). Le longueur (dx) doit être choisie de telle façon que dx << λ (λ est la longueur d'onde)
Figure 5.2 : Câble coaxial
Figure 5.3 : Lignes planaires a) ligne micro-ruban b) ligne à fente c) ligne coplanaire
a)
b)
c)
3
Figure 5.4 : Schéma équivalent d'un tronçon de ligne
Les quatre éléments R, L, C, et G sont appelés ''paramètres primaires'' de la ligne de transmission avec
• R : résistance linéique série en (Ω /m).
• L : inductance linéique série en en (H/m).
• C : capacité linéique parallèle en (F/m).
• G : conductance linéique parallèle en (S/m).
4. Equation des Télégraphistes
L'équation des télégraphistes permet d'obtenir une description de la propagation de l'onde dans une ligne. Nous allons l'obtenir en écrivant la différence des tensions d'entréee et de sortie et la différence des courants d'entrée et de sortie, en utilisant les équations de Kirchoff : loi des mailles et loi des noeuds.
4.1 Modèle simplifié
Cas d'une ligne sans pertes
Pour simplifier l'étude dans un premier temps, on considère un tronçon de ligne élémentaire compris entre x et x+dx sans résistance R ni de conductance G, représenté sur la figure 5.5. Il s'agit d'une ligne sans pertes :
Pertes dans les conducteurs
Pertes dans les diélectriques
4
Figure 5.5 : Schéma équivalent d'un tronçon de ligne sans perte
Pour un élément de longueur dx, les équations de Kirchoff sur la boucle et sur le noeud
donnent :
𝑣̅(x+dx,t)– 𝑣̅(x,t)= –L dx
𝜕̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
(5.1)
𝑖(̅ x+dx,t)– 𝑖(̅ x,t)= –C dx
𝜕 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
(5.2)
Du fait que dx est un segment infinitésimal de la ligne, on peut écrire :
𝑣̅(𝑥+𝑑𝑥,𝑡)− 𝑣̅(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
=
𝜕 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
(5.3)
𝑖̅(𝑥+𝑑𝑥,𝑡)− 𝑖̅(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
=
𝜕̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
(5.4)
On obtient un système d'équations couplées :
𝜕 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
= –L
𝜕̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
(5.5)
𝜕̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
= –C
𝜕 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
(5.6)
En dérivant l'équation (5.5) par rapport à x et en remplaçons le terme
( )
x
i x t
�
� ,
par son
expression équation (5.6)
( ) ( )
� �
�
�
� �
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
= −
�
�
t
i x t
x
L
x
v x, t ,
2
2
(5.7)
dx
5
( ) ( )
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= −
�
�
x
i x t
t
L
x
v x, t ,
2
2
=LC
( )
2
2 ,
t
v x t
�
�
(5.
En combinant ces relations suite à une seconde dérivation et en remplaçant le terme
( )
x
i x t
�
� ,
par son expression on obtient :
𝜕2 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 =LC
𝜕2 𝑣 ̅ (𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 (5.9)
De même on obtient :
𝜕2 ̅𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 =LC
𝜕2̅ 𝑖(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 (5.10)
Les équations (5.9) et (5.10) s'appellent les équations des télégraphistes ou encore les
équations des lignes de transmission, car elles décrivent la propagation des ondes le long des
lignes.
4.1.1. Equations de propagation : le cas du régime harmonique
Généralement, les signaux transmit sont sinusoïdaux, c'est-à-dire qu'il est possible d'écrire les
valeurs instantanées complexes de la tension ̅𝑣(x,t) et du courant 𝑖(̅ x,t) qui sont le produit des
amplitudes complexes 𝑉 ̅
(x)et 𝐼̅(
x) qui ne dépendent que de la variable spatiale x par le facteur
complexe exp (j�t).
Les grandeurs complexes associées à ̅𝑣(x,t) et 𝑖(̅ x,t) s'écrivent :
𝑣̅(x, ω,t)= 𝑉 ̅
(x, ω) 𝑒𝑗ω𝑡 (5.11)
𝑖̅(x, ω,t)= 𝐼̅(
x, ω) 𝑒𝑗ω𝑡 (5.12)
En remplaçant 𝑣̅(x, ω,t) et 𝑖(̅ x, ω,t) par leur grandeur complexe dans les équations (5.5) et
(5.6), on obtient :
𝜕𝑉 ̅
(𝑥,ω)
𝜕𝑥
= −jLω𝐼̅(
x, ω) (5.13)
𝜕𝐼̅(
𝑥,ω)
𝜕𝑥
= −jCω𝑉 ̅
(𝑥, ω) (5.14)
6
En dérivant l'équation (5.13) par rapport à x et en remplaçant 𝜕𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥 par son expression on obtient :
𝜕2𝑉̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 = (jCω)(j𝐿ω) 𝑉̅(𝑥,ω) = − ω2𝐿𝐶 𝑉̅(𝑥,ω) (5.15)
De même on obtient :
𝜕2𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 = (jCω)(j𝐿ω) 𝐼̅(x, ω) = − ω2𝐿𝐶 𝐼̅(x, ω) (5.16)
Posons :
γ =√(j𝐶ω)(j𝐿ω) = 𝑗ω√𝐿𝐶 =𝑗𝑘 (5.17)
γ est un nombre complexe, purement imaginaire que l'on appelle la constante de propagation. Les équations (5.15) et (5.16) s'écrivent donc:
𝜕2𝑉̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 −γ2 𝑉̅(𝑥,ω)=0 (5.18)
𝜕2𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 − γ2 𝐼̅(x, ω) = 0 (5.19)
Ce sont les équations de propagation de la tension et du courant le long de la ligne. Les équations (5.18) et (5.19) admettent des solutions de la forme :
𝑉̅(𝑥)=𝑉+
̅̅̅ 𝑒−
γ
𝑥+
𝑉_̅
𝑒γ
𝑥 =
𝑉+
̅̅̅ 𝑒−𝑗𝑘𝑥 +
𝑉−
̅̅̅ 𝑒𝑗𝑘𝑥 (
5.20)
𝐼̅(𝑥)=𝐼+̅ 𝑒−γ𝑥+𝐼−̅ 𝑒γ𝑥 = 𝐼+̅ 𝑒−𝑗𝑘𝑥+𝐼−̅ 𝑒𝑗𝑘𝑥 (5.21)
où 𝑉+̅̅̅, 𝑉−̅̅̅, 𝐼+𝑖̅̅̅̅ et 𝐼−̅ sont des constantes d'intégrations
Le signal se décompose en deux termes. Le premier terme 𝑉+̅̅̅ 𝑒−𝑗𝑘𝑥correspond à l'onde incidente, le second terme 𝑉−̅̅̅ 𝑒𝑗𝑘𝑥correspond à l'onde réfléchie.
La vitesse de phase est donnée par :
7
LC k
v
1
= =
�
�
(5.22)
Remarque :
• Relation de dispersion :
La relation 𝑘2 =ω2𝐿𝐶 est appelée relation de dispersion
• Impédance caractéristique :
L'impédance caractéristique est le rapport de la tension au courant à l'intérieur de la ligne.
Les constantes d'intégrations sont liées deux à deux par:
𝑉+ ̅̅̅̅
𝐼+ ̅̅̅ = −
𝑉− ̅̅̅̅
𝐼− ̅̅̅ = √
𝑗𝐿ω
j𝐶ω
=√
𝐿
𝐶
(5.23)
√
𝐿
𝐶
: est une quantité réelle exprimée en Ω, homogène à une impédance qu'on note Zc et
qu'on appelle impédance caractéristique de la ligne.
4.2. Modèle réel
En général, les conducteurs et les diélectriques utilisés ne sont pas parfaits. Il faut tenir
compte des pertes dans le métal et des fuites dans le diélectrique. Tenant compte des
phénomènes négligés précédemment, il sera introduit ainsi 4 paramètres R, L, C, et G
(figure 5.6).
Figure 5.6 : Modèle réel d'une ligne de transmission électrique.
En suivant le même raisonnement que pour le modèle simplifié les équations (5.1) et (5.2)
deviennent :
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𝑣̅(x+dx,t)– 𝑣̅(x,t)= –R dx 𝑖̅(x,t) –L dx 𝜕 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡 (5.24)
𝑖̅(x+dx,t)– 𝑖̅(x,t)= –G dx 𝑣̅(x,t) –C dx 𝜕 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡 (5.25)
du fait que dx est un segment infinitésimal de ligne, on peut écrire :
𝑣̅(𝑥+𝑑𝑥,𝑡)− 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝑑𝑥 =𝜕 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑥 et 𝑖̅(𝑥+𝑑𝑥,𝑡)− 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝑑𝑥 =𝜕 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑥 (5.26)
Ce qui permet d'obtenir les deux équations :
𝜕 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑥= – R 𝑖̅(x,t) –L 𝜕 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡 (5.27)
𝜕 𝑖̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡= – G 𝑣̅(x,t) –C 𝜕 𝑣̅(𝑥,𝑡)𝜕𝑡 (5.28)
4.2.1. Equations de propagation : le cas du régime harmonique
𝜕𝑉̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥 =−𝑅 𝐼̅(x, ω) −jLω𝐼̅(x, ω) = −(𝑅+j𝐿ω)𝐼̅(x, ω) (5.29)
𝜕𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥 = −𝐺 𝑉̅(𝑥,ω) −jCω𝑉̅(𝑥,ω)=−(𝐺+j𝐶ω)𝑉̅(𝑥,ω) (5.30)
En éliminant 𝑉̅(𝑥,ω) entre les deux équations et en dérivant l'équation (5.28) par rapport à x on a:
𝜕2𝐼̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 = (𝐺+jCω)(𝑅+j𝐿ω) 𝐼̅(𝑥,ω) (5.31)
De même on obtient :
𝜕2𝑉̅(𝑥,ω) 𝜕𝑥2 = (𝐺+jCω)(𝑅+j𝐿ω) 𝑉̅(𝑥,ω) (5.32)
Ces deux équations sont appelées équations des Télégraphistes.
L'expression de la constante de propagation γ devient :
γ =√(𝐺+j𝐶ω)(𝑅+j𝐿ω) (5.33)
avec γ nombre complexe de l a forme γ =α +jk
• La partie réelle α est un paramètre d'affaiblissement linéique, souvent exprimée en décibels par mètre ou en Nepers par mètre (1dB =0.1151 Np).
• La partie imaginaire k est un paramètre de phase, et représente le déphasage linéique, exprimée en radians par mètre (1radian =57.30°)
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• Les constantes d'intégrations sont liées deux à deux par:
𝑉+ ̅̅̅̅
𝐼+ ̅̅̅
= −
𝑉− ̅̅̅̅
𝐼− ̅̅̅
= √
(𝑅+j𝐿ω)
(𝐺+j𝐶ω)
= 𝑍𝑐 ̅̅̅ (5.34)
avec 𝑍𝑐 ̅̅̅ = √
(𝑅+j𝐿ω)
(𝐺+j𝐶ω)
(5.35)
Donc pour une ligne de transmission avec pertes, l'impédance caractéristique est un nombre
complexe, où R et G sont respectivement la résistance et la conductance de pertes par unité de
longueur.

On met ainsi en évidence que la solution générale de l'équation de propagation (des
télégraphistes) est la superposition de deux ondes progressives de sens opposés qui
constituent un système d'ondes stationnaires.
4.3. Coefficient de réflexion
Le coefficient de réflexion Г en un point x quelconque est définit comme le rapport de
l'amplitude de l'onde réfléchie à l'amplitude de l'onde incidente en ce point. Il traduit la
réflexion sur un obstacle ou une discontinuité de la ligne de propagation.
Pour une onde progressive de tension, on définit dans le cas général le coefficient de réflexion
(x) + � en un point x de la ligne par :

Si on considère que la ligne d'impédance caractéristique c Z , se termine en l sur une
impédance l Z . On peut exprimer l Z en utilisant les équations (5.35), (5.36) et (5.33):

où on a introduit l'impédance réduite obtenue en divisant l Z par Zc

4.4. Conditions particulières de charges
4.4.1. Charge adaptée
Si la ligne sera terminée par une impédance lZ = cZ , le coefficient de réflexion s'annule.
L'onde n'est pas réfléchie. C'est une onde qui se propage de la même manière que si la ligne
était infinie.
4.4.2. Court-circuit
Si l'impédance terminale de la ligne est nulle ( l Z =0 ) en remplaçant dans
l'équation (5. 40), 1 − = � .L'onde se réfléchit avec un déphasage de π. La superposition des
deux ondes donne un régime d'onde stationnaire pur.
4.4.3. Circuit ouvert
Si l'impédance terminale de la ligne est infinie ( = � l Z ) en remplaçant dans
l'équation (5. 40), 1 = � .L'onde se réfléchit sans déphasage. La superposition des deux
ondes donne aussi un régime d'onde stationnaire pur.
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4.5. Rapport d'onde stationnaire
Dans une ligne de transmission avec pertes, les deux ondes V+ et V-, se propagent dans des
directions opposées. Elles s'interfèrent et produisent un phénomène qui se manifeste sous la
forme d'ondes stationnaires. A un certain endroit de la ligne, les deux ondes produisent des
interférences constructives, la tension résultante atteint son maximum: Vmax = V+ + V- .
Réciproquement le minimum de la tension résultante est atteint lorsque les deux ondes
produisent des interférences destructives : Vmin = V+ - V-.
On définit le rapport d'onde stationnaire (ROS) comme étant le rapport entre le voltage
maximum et celui minimum relevés sur la ligne au niveau d'un ventre de tension. Le rapport
d'onde stationnaire nommé S est donné par :
+ −
+ −
−
+
= =
V V
V V
V
V
S
min
max
(5. 43)
On peut exprimer S à partir du coefficient de réflexion
(5. 44)
Année Universitaire 2012-2013
S prend des valeurs comprises entre 1 et ∞
▪ Si S=1, � =0, correspond à des ondes progressives.
▪ Si S=∞, � =1, correspond à des ondes stationnaires pures.
Références
✓ Philippe Ferrari, « phenomenes de propagation en radiofréquences Electronique rapide, »
Cours, Dt Génie Electrique et Informatique Industrielle 2, Physique : phénomènes de
propagation en radiofréquences Grenoble
✓ Paul François COMBES, Micro-ondes 1. Lignes, guides et cavités, Cours et exercices.
Ecoles d'ingénieurs, Edition Dunod, 1996.
✓ Dominic Grenier, électromagnétisme et transmission des ondes, Cours, Dt Génie
Electrique et de Génie Informatique Année Universitaire 2012 ,Quebec
Cours sur les lignes de transmission -converti.pdf