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Comprendre la p-value p-valeur

Démarré par Exocoeur, Novembre 07, 2022, 12:04:56 AM

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Exocoeur

La p-value








La p-valeur ou la p-value en anglais, est souvent difficile à expliquer de manière comprendre le sens exact.
Regardons la définition selon wikipedia : Dans un test statistique, la valeur-p (en anglais p-value pour probability value), parfois aussi appelée p-valeur, est la probabilité pour un modèle statistique donné sous l'hypothèse nulle d'obtenir une valeur au moins aussi extrême que celle observée.

En lisant cet article, vous devez pouvoir comprendre la blague suivante  :D


La définition wikipédia est un exemple de la complexité dont je parlais dans l'introduction. Essayons plutôt de comprendre la p-value au travers de cette étude d'un nouveau médicament :

Effet d'un médicament sur 100 patients qui vont prendre un nouveau médicament.
En l'absence du médicament la charge virale est à 1.2 degré  en moyenne, au bout d'un certain temps.
Cette charge virale est  en moyenne à  1.05 degré, chez les 100 patients avec un écart-type de 0.5


Ce médicament est-il efficace ?

Si parmi les 100 patients, je prends des échantillons de façon aléatoire et que je calcule la moyenne pour chaque échantillon ? Ou bien si je refais l'expérience plusieurs fois
Si je positionne les résultats sur un plan :  l'axe des x : la moyenne, l'axe des y le nombre d'échantillons pour lesquels j'ai obtenu cette même moyenne.

Après la première expérience :

C'est tout à fait par hasard que la première expérience est positionnée au milieu.


Au bout de 20 expériences


Après plusieurs expériences


Vous avez compris qu'on fait l'hypothèse que les résultats suivent une loi normale.



Et l'efficacité de notre médicament dans tout ça ? faisons deux hypothèses :

H0 (Hypothèse nulle) : Médicament n'a pas d'effet => Mu = 1.2   (Pas de changement par rapport à ce qui est connu)
H1 (hypothèse alternative) : médicament a un effet => mu <> 1.2 (Une solution nouvelle qu'on essaye de prouver. )

On suppose que H0 est vraie (ce qui suppose que la bonne moyenne est 1.2 et que le 1.05 obtenu dans notre expérience n'est dû qu'à une variation minime et que ça ne doit pas être très loin de 1.2)



Question 1 : 1.05 est-il trop loin de 1.2 qui sous notre hypothèse est la valeur la plus proche de la vérité ?
Pour y répondre :
(1.2 – 1.05)/0.05 = 3
1.05 est éloigné de 3 écarts type de 1.2


Question 2 : Parmi les échantillons qu'on a générés aléatoirement parmi les patients ayant pris le médicament, y'en a-t-il un nombre significatif d'échantillons dont la moyenne est au moins aussi éloignée de 1.2 que 1.05 ? cad d'au moins 3 fois l'écart type ?
Ces échantillons sont tous ceux qui se trouvent dans la zone hachurée en blanc sur l'image ci-dessous :


Cette surface représente une probabilité, qu'on peut estimer facilement avec une loi centré réduite Z (Statistique du test ):

Z =(1.2 – 1.05)/0.05 = 3


On sait que la surface correspondant à 6 écarts types représente 99.7%

Donc la surface hachurée : 100-99,7 =0.3%

La réponse à la question 2 est : il y a  0.3% des échantillons  dont la moyenne est aussi éloignée de 1.2 que 1.05.

Ça veut dire que si H0 est vraie le résultat obtenu chez les patients avec une moyenne de 1.05 avait très peu de chance (0.3%) de se produire. Ce résultat est invraisemblable. Or, on l'a bien obtenu. Donc soit on a eu de la chance ou alors notre hypothèse de départ (H0) est fausse.


Notre hypothèse H0 est peut-être fausse ? ça dépend de notre tolérance ?

On peut être exigent et rejeté H0 uniquement quand cette valeur est en dessous 0.01% par exemple

Si notre exigence est de 5% par exemple, on rejettera H0 (H0 devient fausse) est donc notre médicament est efficace.

Ici 0.03% représente la P-value et l'exigence qu'on s'impose est désignée habituellement par alpha.



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