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Polycopié La théorie spectrale des opérateurs

Démarré par redKas, Décembre 11, 2018, 11:01:49 PM

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redKas

Polycopié La théorie spectrale des opérateurs

0 Introduction 3
0.1 Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Opérateurs linéaires 8
1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Opérateur linéaire bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Opérateur inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Spectre d'un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Opérateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Propriétés spectrales de l'opérateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3 Opérateur adjoint dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.2 Propriétés spectrales des opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . 28
1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Opérateurs compacts 33
2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Propriétés fondamentales des opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . 36
1
TABLE DES MATIERES
2.3 Opérateur compact dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Propriétés spectrales des opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Alternative de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Opérateurs compacts auto-adjoints 54
3.1 Décomposition spectrale des opérateurs compacts auto-adjoints . . . . . . 54
3.2 Développement en série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Fonctions propres et décomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1 Exemple de l'équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Exemple d'un opérateur différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Annexe 66
4.1 Première définition des espaces de Hilbert et exemples . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Géométrie dans un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Base hilbertienne, Somme hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Bibliographie

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