cours de  Introduction topologie
1 Espaces metriques,
2 Connexit
3 Compacit
4 Espaces vectoriels normes
5 Espaces métriques complets
6 Propriétés des espaces de fonctions continues
7 Espaces de Hilbert
8 Exercices

Introduction
Ce cours s'adresse a des etudiants de Licence en mathematiques. Il a pour
objectif de donner les bases en topologie indispensables a toute formation en
mathematiques. Il ne s'agit pas d'un traite complet sur le sujet, qui n'est pas
neuf. De nombreux livres parfois tres fournis (ceux donnes dans la bibliographie
par exemple) existent deja. Nous avons cherche, compte tenu des contraintes de
volume horaire, d'acquis des etudiants en premier cycle et d'exigences pour la
suite du cursus, a degager les points cles permettant de structurer le travail personnel de l'etudiant voire de faciliter la lecture d'autres ouvrages. Par exemple,
il nous a semble important de ne pas nous limiter aux espaces metriques de
facon a ce que le langage de la topologie generale ne soit plus un nouvel obstacle
a franchir (de plus les topologies non metrisables arrivent tres vite : convergence
simple, topologies produit, quotient, de Zariski. . .). Nous avons laisse de
c^ote, en le signalant, la notion de ltre qui a ce niveau introduirait plus de
confusion qu'autre chose mais qui apres coup ne presentera pas de diculte
majeure pour l'etudiant ayant assimile ce cours. De la m^eme facon, nous avons
evite les discussions autour de l'axiome du choix, nous limitant au niveau de
la theorie des ensembles aux operations ensemblistes rappelees dans le premier
exercice. Ainsi le theoreme de Tychono est demontre dans le cas metrisable.
De m^eme, on ne parle pas du theoreme de Hahn-Banach qui s'integre plus
naturellement dans un cours d'Analyse Fonctionnelle, mais il y a un ou deux
exercices sur la separation des convexes en dimension nie.
Nous avons inclus dans ce texte une liste d'exercices. Ceux-ci de diculte variee
repondent a une double necessite. Il est important de jongler avec les dierents
concepts introduits en cours et m^eme de faire certaines erreurs une fois pour
bien identier les pieges. Les exercices permettent d'orienter les raisonnements
vers d'autres domaines des mathematiques (algebre, analyse, geometrie), cela
an d'exhiber l'inter^et et l'omnipresence des arguments topologiques.
Les choses supposees connues correspondent au programme du premier cycle.
Elles interviennent dans les demonstrations et dans les exemples qui donnent
corps aux nouvelles denitions. Il s'agit de
1) Techniques ensemblistes : operations ensemblistes, relations, fonctions, notion
de denombrabilite.
2) Analyse elementaire sur la droite reelle R : Le corps des reels deni comme
corps archimedien contenant Q et veriant la propriete de la borne
superieure, suites reelles, intervalles, fonctions continues de R dans R,
derivation.
3) Algebre lineaire et bilineaire : Espaces vectoriels, bases, applications lineaires,
calcul matriciel, determinants, produit scalaire.
4) Fonctions de plusieurs variables, derivees partielles.
5) Convexite d'un ensemble, d'une fonction.
D'autres notions intervenant dans les exercices (fonctions holomorphes, dierentielle)
seront rappelees, si besoin est, en Travaux Diriges.
Conseils pratiques aux etudiants : Ce polycopie ne dispense pas d'assister
aux amphis ni de prendre des notes complementaires. Il est la pour eviter
un travail de copie qui emp^eche parfois de se concentrer sur les explications
donnees oralement. Ce cours presente au moins deux dicultes : 1) Pour les
etudiants venant du DEUG, c'est la premiere fois qu'ils sont serieusement
confrontes a une demarche axiomatique. Se convaincre de l'inter^et des notions
abstraites et identier leur domaine de validite demande du travail. Une facon
de faire est de chercher a resoudre le maximum d'exercices par soi-m^eme. 2) Un
vocabulaire nouveau et precis doit s'acquerir. Il est important de comprendre et
apprendre le cours au fur et a mesure. Une bonne facon de tester l'assimilation
du cours est de le refaire mentalement a partir de la table des matieres bien
detaillee. L'index donne en n de polycopie aidera a revenir rapidement sur
une denition ou un enonce precis.