cours Topologie Générale Elémentaire
Pr´eface iii
1 Pr´eliminaires 1
1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Le corps des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Espaces m´etriques 20
2.1 Définition d'un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Distance entre deux parties et diamètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Espaces vectoriels normés et espaces Euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Boules dans un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Ouverts, fermés, et voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Intérieur, extérieur, adhérence et frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Nouveaux espaces a partir d'existants espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Continuit´e sur les espaces m´etriques 49
3.1 Continuité ponctuelle, séquentielle et globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Homéomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Métriques équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Espaces m´etriques complets 67
4.1 Les Suites dans un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Suite de Cauchy et complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Espaces m´etriques compacts 80
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Définitions et propriétés des compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Espaces précompacts et séquentiellement compacts . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4 Compacité dans les espaces Euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Espaces m´etriques connexes 90
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 Espaces et parties connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Les connexes des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
R´ef´erences 99
Index
La topologie est une théorie mathématique relativement jeune : elle émerge (sous le nom
d'analysis situs) au début du vingtième siècle dans les travaux de Hausdorff et de Tychonoff.
Le besoin d'une telle théorie s'est déjà fait sentir à la fin du dix-neuvième siècle dans
les travaux de Riemann et de Hilbert. Dans la recherche actuelle, la topologie joue un rôle
fondamental aussi bien en Analyse Fonctionnelle qu'en Géométrie Différentielle ou encore
en Topologie Algébrique. Ci-dessous, quelques grands noms de la Topologie :
– Henri Poincaré (1854-1912) ; (homotopie, cohomologie)
– David Hilbert (1862-1943) ; (bases de Hilbert, espaces de Hilbert)
– Maurice Fréchet (1878-1973) ; (convergence uniforme, convergence compacte)
– Stefan Banach (1892-1945) ; (fondateur de l'Analyse Fonctionnelle, espaces de Banach)
Ce cours n'est cependant qu'une introduction aux notions de base. Il contient le strict minimum
pour celui qui souhaite poursuivre les études en mathématiques. Comme la topologie
repose sur relativement peu de connaissances acquises, elle présente l'occasion idéale pour
l'étudiant de combler d'éventuelles lacunes en logique ou en théorie des ensembles. C'est
la raison pour laquelle la plupart des énoncés sont suivis d'une preuve complète.