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Cours Mécanique Analytique

Démarré par redKas, Janvier 17, 2019, 09:22:56 PM

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redKas

Cours Mécanique Analytique

Introduction
La m¶ecanique analytique n'apporte rien de conceptuellement nouveau par rapport aux formulations
standard de la dynamique newtonienne (principe fondamental, th¶eorμeme de l'¶energie cin¶etique et autres
points marquants de l'enseignement ¶el¶ementaire de la m¶ecanique), mais en constitue une formulation
trμes ¶el¶egante. Parfaitement adapt¶ee μa la description de systμemes oμu les mouvements sont sujets μa
des contraintes (un cauchemar avec les formulations \standard"), μa l'utilisation de techniques de
perturbations, ce qui explique son succμes toujours certain auprμes des astronomes, elle est souvent d'un
usage in¯niment plus pratique que les formulations plus ¶el¶ementaires.
Il s'agit aussi d'un cas particulier d'une approche trμes fructueuse dans des domaines vari¶es de la
physique: une m¶ethode variationnelle. En m¶ecanique analytique, nous ne pr¶eciserons pas les ¶equations
locales que doit v¶eri¯er μa chaque instant le mouvement de la particule. Nous donnerons en fait une
condition prescrivant μa une int¶egrale portant sur l'ensemble du mouvement d'^etre extr¶emale. Parmi
toute les trajectoires permises par la cin¶ematique, mais parfois absurdes pour la dynamique, il nous
faudra choisir la bonne en respectant cette rμegle. En fait, la description du mouvement en m¶ecanique
analytique est trμes semblable μa la description des rayons lumineux avec le principe de Fermat. Lμa
aussi, on doit choisir parmi tous les trajets possibles celui qui rend extr¶emale une int¶egrale qui n'est
autre que la dur¶ee du trajet.
Surtout, et bien qu'il s'agisse d'un formalisme datant, avec Lagrange et Hamilton, de la ¯n du
XVIIIμeme ou du XIXμeme siμecle, elle est parfaitement adapt¶ee aux approches modernes de la physique.
Elle joue ainsi un r^ole essentiel en m¶ecanique statistique, elle est μa l'origine de la quanti¯cation
des dynamiques classiques, elle est fortement apparent¶ee aux formulations modernes de la m¶ecanique
quantique en termes d'int¶egrales de chemin. Elle nous sera en¯n d'une grande utilit¶e pour reconstruire
l'¶electromagn¶etisme μa partir de la relativit¶e.
Cette partie se compose de deux chapitres principaux. Dans le premier, qui sera le plus ¶eto®¶e, nous
donnons la formulation lagrangienne de la m¶ecanique analytique, qui est celle que nous utiliserons dans
la partie de relativit¶e. Nous insisterons sur la notion de coordonn¶ee g¶en¶eralis¶ee, qui permet de traiter
de fa»con naturelle les contraintes et nous examinerons comment on peut incorporer dans le formalisme
un certain nombre d'interactions. Un point important dans ce domaine sera l'¶etablissement de la
fonction de Lagrange pour des particules charg¶ees en interaction avec un champ, dont nous montrerons
qu'elle redonne bien le force de Lorentz. En¯n, nous d¶eduirons d'un certain nombre de sym¶etries
fondamentales de la nature (invariance dans le temps, dans l'espace, invariance par rotation) les lois
de conservation essentielles (¶energie, impulsion, moment cin¶etique). Cette approche qui lie les lois de
conservation aux propri¶et¶es de sym¶etrie est en fait trμes g¶en¶erale et trμes puissante.
Le deuxiμeme chapitre sera consacr¶e μa une brμeve revue du formalisme hamiltonien. Brμeve parce
que le sujet est extr^emement vaste, en particulier en ce qui concerne les transformations canoniques et
les liens avec la m¶ecanique quantique, brμeve aussi parce que le formalisme hamiltonien ne sera guμere
utilis¶e en grand d¶etail dans les cours de premiμere ann¶ee.
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