Auteur Sujet: Cours: Méthode des Éléments Finis (Lu 6119 fois)

sabrina · « **le:** décembre 28, 2017, 12:10:30 am »

Cours: Méthode des Éléments Finis
par: Abdelghani SEGHIR
Université A. Mira, Béjaia, Algérie
Docteur en Génie Civil de l’université Paris -Est, Marne -la-Vallée, France

chapitre 1 Présentation de MATLAB ................................................................................. 5
1.1 Introduction ... 5
1.2 Introduction des matrices .................................................................................... 7
1.3 Opérations sur les matrices ................................................................................. 8
1.4 Opérations sur les vecteurs ................................................................................ 10
1.5 Fonctions sur les matrices ................................................................................. 11
1.6 Accès aux éléments des matrices ...................................................................... 12
1.7 Les boucles dans MATLAB .............................................................................. 13
1.8 Les testes logiques ............................................................................................ 14
1.9 Les Fichiers fonctions ....................................................................................... 15
1.10 Application 1 ... 16
1.11 Exercice ... 17
1.12 Devoir - TP ... 17
chapitre 2 Présentation générale de la Méthode des Eléments Finis ................................... 1
2.1 Introduction ... 1
2.2 Historique de la méthode .................................................................................... 2
2.3 Les grandes lignes de la méthode ........................................................................ 3
2.4 Formulation variationnelle .................................................................................. 5
2.4.1 Forme forte .................................................................................................. 5
2.4.2 Forme faible ................................................................................................ 7
2.5 Discrétisation du domaine ................................................................................... 8
2.6 Approximation sur l'élément ............................................................................... 9
2.6.1 Approximation polynomiale et approximation nodale ................................ 9
chapitre 3 Equations différentielles et problèmes aux limites .......................................... 11
3.1 Equation différentielles du premier ordre ......................................................... 11
3.2 Etapes à suivre .................................................................................................. 11
3.2.1 Formulation du problème .......................................................................... 11
3.2.2 Discrétisation du domaine ......................................................................... 12
3.2.3 Discrétisation et interpolation sur l’élément ............................................. 13
3.2.4 Propriétés des fonctions de forme ............................................................. 14
3.2.5 Elément de type Lagrange ......................................................................... 15
3.2.6 Matrices élémentaires ................................................................................ 16
3.2.7 Remarque .................................................................................................. 19
3.3 Etape 4 : Assemblage ........................................................................................ 19
3.4 Etape 5a : Résolution – Application des CAL .................................................. 23
3.5 Etape 5b : Résolution – Calcul de la solution ................................................... 24
3.6 Etude de la convergence .................................................................................... 24
3.7 Devoir N°2 ... 27
3.8 Equations différentielles du 2nd ordre ................................................................ 27
3.9 Programme MATLAB ...................................................................................... 29
3.10 Comparaison avec l’intégration pas à pas ......................................................... 31
3.11 Devoir N°3 ... 33
3.12 Programme général pour les équations du 2nd ordre ......................................... 35
3.13 Devoir N°4 ... 45
chapitre 4 Elément Barre ................................................................................................... 47
4.1 Equation gouvernante........................................................................................ 47
4.2 Formulation de l’élément .................................................................................. 48
4.3 Exemple d’une tige encastrée ............................................................................ 50
4.4 Structures planes à treillis ................................................................................. 51
4.5 Exemple de deux barres .................................................................................... 56
4.6 Techniques d’assemblage pour les éléments barres .......................................... 58
4.7 Programme d’éléments finis pour l’élément barre ............................................ 59
4.7.1 Saisie des données ..................................................................................... 59
4.7.2 Calcul des matrices de rigidité et de masse ............................................... 61
4.7.3 Application des conditions d’appuis ......................................................... 64
4.7.4 Résolution du système discret ................................................................... 66
4.7.5 Programme principal ................................................................................. 67
4.8 TP N°3 ... 70
chapitre 5 Elément Poutre ................................................................................................. 71
5.1 Equation gouvernante........................................................................................ 71
5.2 Formulation de l’élément .................................................................................. 75
5.2.1 Formulation variationnelle ........................................................................ 75
5.2.2 Discrétisation............................................................................................. 76
5.2.3 Matrices élémentaires ................................................................................ 78
5.3 Exemple d’une poutre console .......................................................................... 81
5.3.1 Cas d’un chargement concentré à l’extrémité libre ................................... 81
5.3.2 Cas d’un chargement réparti ..................................................................... 82
5.3.3 Programme MATLAB .............................................................................. 85
5.3.4 Modèle SAP .............................................................................................. 86
5.4 Devoir N°6 ... 88

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